問題
3種類の品物，，がある．を3個，を2個，を1個任意に選んで1つにまとめて1個の商品とする．次の問に答えよ．
(1) 「には，全体のの不良品が含まれ，には，全体の，には，全体のの不良品が含まれている．」という仮説のもとで，全商品の中から，無作為に1個の商品を取り出したとき，それが完全な商品である確率を求めよ．ここで，完全な商品とは不良品が含まれていない商品のことである．
(2) 商品960個を無作為に抽出したところ，完全な商品は640個であった．このことから，(1)の仮説は正しいと判断してよいかどうかを，有意水準（危険率）5％で検定（両側検定）せよ．必要ならば，付表を用いてもよい．
% 図は省略
% 図は省略
方針
は、商品が完全であるためには、選ばれた 3個、 2個、 1個がすべて良品である必要があるので、独立に良品率を掛ける。 は仮説のもとで完全な商品の個数 が 、 の二項分布に従うとみなし、平均と分散を求める。標準化した値を5％両側検定の棄却限界 と比べ、観測値640が仮説のもとで起こりにくいかを判断する。
解答
(1)
仮説のもとでは、 の良品率は であり、 の良品率は であり、 の良品率は である。
1個の商品には が3個、 が2個、 が1個含まれる。完全な商品であるためには、これらすべてが良品でなければならない。したがって求める確率は
である。これを約分すると である。
(2)
の仮説が正しいとすると、完全な商品の個数を とすれば、 は試行回数960、成功確率 の二項分布に従うと考えられる。したがって平均は であり、分散は である。標準偏差は である。
観測された完全な商品の個数は640個なので、標準化すると である。これは約 である。
5％の両側検定では、標準正規分布による棄却域はおよそ である。ここでは であるから、観測値は棄却域に入る。したがって、5％の有意水準では仮説を棄却する。
よって、 の仮説は である。