問題
だ円 を軸のまわりに回転してできる回転体を考える．この回転体から，取り除く部分の体積を最小にして，軸と直交する2つの面をもつ直方体をつくりたい．取り除く部分の体積はいくらか．
出典：東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
回転体は を固定した断面が半径 の円になる。直方体の2つの面を としてよく、固定した では最も狭い断面円に入る長方形の最大面積を使う。円に内接する長方形の最大面積は正方形のとき なので、直方体の体積は になる。これを最大化し、回転体全体の体積から引けば、取り除く部分の最小体積が得られる。
解答
楕円を 軸のまわりに回転してできる回転体は で表される。 を固定した断面は、半径 の円である。
直方体の2つの面が 軸に直交するので、その2つの面を対称に とおく。ただし である。対称に取るのが最も有利である。実際、断面円の半径は が大きいほど小さくなるので、同じ最大の を使うなら区間の長さは が最大になる。 での断面円の半径は である。この円に内接する長方形の面積を最大にするには正方形を取ればよく、その最大面積は である。したがって直方体の体積は
である。
これを最大にする。微分すると である。 で最大となるのは のときである。このとき
である。
一方、回転体全体の体積は、断面積を積分して
である。したがって取り除く部分の体積の最小値は
である。