東北大学 1986年度
理系数学 前期 第5問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 微分、積分、指数・対数
- 解法
- 接線・法線、面積計算、計算整理
- 難易度
- 7 / 10 計算量 7 / 10 目安 30〜36分
問題
関数f(x)=(4x3+ax2+bx+c)e2xについて，次の問に答えよ．
(1) f(x)がx=−1，x=0，x=1で極値をもつように定数a，b，cを定めよ．
(2) a，b，cを(1)で定めたものとして，曲線y=f(x)と，3つの直線x=−1，x=1，y=0で囲まれた図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
P(x)=4x3+ax2+bx+c とおくと、f′(x)={P′(x)+2P(x)}e2x である。指数部分は常に正なので、−1,0,1 で極値をもつには P′(x)+2P(x) がそこで0になればよい。これは先頭係数が8の3次式なので 8x(x2−1) と一致させ、係数比較で a,b,c を求める。面積では、求めた P(x) が [−1,1] で負であることを増減から確認し、−∫−11P(x)e2xdx を計算する。
解答
(1)
P(x)=4x3+ax2+bx+c とおくと f(x)=P(x)e2x である。したがって f′(x)={P′(x)+2P(x)}e2x である。e2x>0 なので、極値をとる点では P′(x)+2P(x)=0 が必要である。
ここで P′(x)+2P(x)=8x3+(2a+12)x2+(2b+2a)x+(2c+b) である。x=−1,0,1 で極値をもつため、この3次式は 8x(x−1)(x+1)=8x3−8x に等しい。係数比較により 2a+12=0,2b+2a=−8,2c+b=0 である。これを解くと a=−6,b=2,c=−1 である。なおこのとき P′(x)+2P(x)=8x(x−1)(x+1) は −1,0,1 で符号を変えるので、実際に極値をもつ。
(2)
(1) より P(x)=4x3−6x2+2x−1 である。まず [−1,1] で P(x)<0 を確認する。導関数は P′(x)=12x2−12x+2 であり、臨界点は x=21±63 である。端点では P(−1)=−13,P(1)=−1 である。また P(21−63)=−1+93<0 であり、P(21+63)=−1−93<0 である。したがって [−1,1] で P(x)<0 であり、f(x)<0 である。
よって求める面積 S は S=−∫−11P(x)e2xdx である。ここで ∫P(x)e2xdx=(2x3−6x2+7x−4)e2x である。したがって ∫−11P(x)e2xdx={2−6+7−4}e2−{−2−6−7−4}e−2 であり、=−e2+19e−2 である。よって S=e2−19e−2 である。したがって求める面積は e2−19e−2 である。
