東北大学 1986年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

とする。計算すると

である。したがって $A^3=A$ が成り立つためには $a(a^2+3b-1)=0,b(3a^2+b-1)=0,3a^2+b-1=0$ が必要である。

ここで $a>0$、$b>0$ なので、$a\ne 0$、$b\ne 0$ である。よって $a^2+3b-1=0,3a^2+b-1=0$ を解けばよい。第1式から $b=\frac{1-a^2}{3}$ であり、第2式から $b=1-3a^2$ である。これらを等しいとして $\frac{1-a^2}{3}=1-3a^2$ を得る。整理すると $1-a^2=3-9a^2,8a^2=2$ であるから $a^2=\frac{1}{4}$ である。$a>0$ より $a=\frac{1}{2}$ である。さらに $b=1-3\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ である。したがって $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4}$ である。

(2)

$(1)$ の値を代入すると、1次変換は $x^{\prime }=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y,y^{\prime }=x+\frac{1}{2}y$ である。このとき $y^{\prime }=2\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y\right)=2x^{\prime }$ である。したがって、移った図形は直線 $y^{\prime }=2x^{\prime }$ 上にある。

次に $x^{\prime }$ の範囲を求める。円 $x^2+y^2=1$ 上で $x^{\prime }=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y$ である。内積の形で見ると

である。また等号は、$(x,y)$ が $(1/2,1/4)$ と同じ向き、または反対向きにあるときに成り立つので、この範囲のすべての値をとる。

したがって移った図形は $y=2x,-\frac{\sqrt{5}}{4}\leqq x\leqq \frac{\sqrt{5}}{4}$ で表される線分である。端点は

である。