東北大学 1983年度
理系数学 前期 第6問

解答

(1)

$x=4-2f(t),y=f(t)$ であるから $\frac{dx}{dt}=-2f^{\prime }(t),\frac{dy}{dt}=f^{\prime }(t)$ である。したがって速さは $\sqrt{{\left(-2f^{\prime }(t)\right)}^2+{\left(f^{\prime }(t)\right)}^2}=\sqrt{5}|f^{\prime }(t)|$ である。

点 $P$ は $y$ 座標が増加する方向に動くので $f^{\prime }(t)>0$ である。よって速さは $\sqrt{5}{f}^{\prime }(t)$ である。一方、問題文より速さは $xy=(4-2f(t))f(t)$ に等しい。したがって $\sqrt{5}{f}^{\prime }(t)=f(t)\{4-2f(t)\}$ である。

次に $g(t)=\frac{1}{f(t)}$ とおくと $g^{\prime }(t)=-\frac{f^{\prime }(t)}{f(t{)}^2}$ である。上の微分方程式から $f^{\prime }(t)=\frac{2}{\sqrt{5}}f(t)\{2-f(t)\}$ なので

である。よって $g^{\prime }(t)=\frac{2}{\sqrt{5}}\{1-2g(t)\}$ である。

(2)

時刻 $t=0$ で $P=(2,1)$ だから $f(0)=1$ であり、$g(0)=1$ である。

(1) の式は $g^{\prime }(t)+\frac{4}{\sqrt{5}}g(t)=\frac{2}{\sqrt{5}}$ である。この一次微分方程式の一定解は $g=1/2$ なので、$g(t)=\frac{1}{2}+C{e}^{-4t/\sqrt{5}}$ と書ける。初期条件 $g(0)=1$ から $C=\frac{1}{2}$ である。したがって $g(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{e}^{-4t/\sqrt{5}}$ であり、$f(t)=\frac{2}{1+e^{-4t/\sqrt{5}}}$ である。

(3)

$e^{-4t/\sqrt{5}}\to 0$ なので $f(t)\to 2$ である。したがって $x=4-2f(t)\to 0,y=f(t)\to 2$ となる。よって $P$ は $(0,2)$ に近づく。