東北大学 1983年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$n$ 枚 $(n ≧ 2)$ のカード $C_{1}, C_{2}, \dots\dots, C_{n}$ があり， $C_{1}$ に1， $C_{2}$ に $2$ ， $\dots\dots$ ， $C_{n}$ に $n$ と記入してある．この中から任意に2枚のカードを取り出すとき，取り出されたカードに記入してある数のうち小さい方を $X$ ，大きい方を $Y$ とする．次の問に答えよ．

(1) $X$ の確率分布と $Y$ の確率分布を求めよ．

(2) $X$ の期待値と $Y$ の期待値を求めよ．

出典：東北大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

2枚の組はすべて同様に確からしいので、全体は $n (n - 1) /2$ 通りで数える。 $X = k$ はもう1枚が $k + 1, \dots, n$ のいずれか、 $Y = k$ はもう1枚が $1, \dots, k - 1$ のいずれかである。期待値は分布から和を計算し、基本和 $\sum k, \sum k^{2}$ に帰着する。

解答

2枚のカードの選び方は $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ 通りであり、すべて同様に確からしい。

(1)

$X = k$ となるのは、取り出した2枚のうち小さい方が $k$ である場合である。したがって、もう1枚は $k + 1, k + 2, \dots, n$ のいずれかであり、その選び方は $n - k$ 通りである。よって $P (X = k) = \frac{n - k}{n ( n - 1 ) /2} = \frac{2 ( n - k )}{n ( n - 1 )}$ である。ただし $k = 1, 2, \dots, n - 1$ である。

同様に、 $Y = k$ となるのは、もう1枚が $1, 2, \dots, k - 1$ のいずれかである場合であり、その選び方は $k - 1$ 通りである。したがって $P (Y = k) = \frac{k - 1}{n ( n - 1 ) /2} = \frac{2 ( k - 1 )}{n ( n - 1 )}$ である。ただし $k = 2, 3, \dots, n$ である。

(2)

分布を用いると $E (X) = \sum_{k = 1}^{n - 1} k \frac{2 ( n - k )}{n ( n - 1 )}$ である。よって

E (X) = \frac{2}{n ( n - 1 )} (n k = 1 \sum n - 1 k - k = 1 \sum n - 1 k^{2})

である。基本和を代入すると

E (X) = \frac{2}{n ( n - 1 )} (n \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2} - \frac{n ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )}{6}) = \frac{n + 1}{3}

となる。

同様に $E (Y) = \sum_{k = 2}^{n} k \frac{2 ( k - 1 )}{n ( n - 1 )}$ であるから $E (Y) = \frac{2}{n ( n - 1 )} (\sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} k)$ である。これを計算して

E (Y) = \frac{2}{n ( n - 1 )} (\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - \frac{n ( n + 1 )}{2}) = \frac{2 ( n + 1 )}{3}

である。

東北大学 1983年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1983年度
理系数学前期第4問