東北大学 1983年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

行列 $A = (a c b d)$ は，任意のベクトル $u = (x y)$ に対して $A u \cdot u = u \cdot u = \frac{1}{4} A u \cdot A u$ を満たす．ただし， $u \cdot v$ はベクトル $u$ ， $v$ の内積を表す．

(1) $A$ を求めよ．

(2) $u$ が零ベクトルでないとき， $u$ ， $A u$ のなす角を求めよ．

(3) $A$ の定める1次変換によって，円弧

{(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} = 1, x ≧ 0, y ≦ 0}

はどのような図形にうつされるか．図によって示せ．

出典：東北大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

任意の $(x, y)$ に対して成り立つ内積条件を、係数比較で処理する。まず $A u \cdot u = u \cdot u$ から $a = d = 1, b + c = 0$ を得る。次に $∣ A u ∣^{2} = 4∣ u ∣^{2}$ から $b^{2} = 3$ を決める。(3) は得られた行列を、倍率 $2$ と角 $\pm π /3$ の回転として読む。

解答

{(1) $A = (a c b d)$ , $u = (x y)$ とおく。第1の等式を展開すると、任意の $x, y$ について

(a - 1) x^{2} + (b + c) x y + (d - 1) y^{2} = 0

だから、 $a = d = 1, c = - b$ である。したがって

∣ A u ∣^{2} = (x + b y)^{2} + (- b x + y)^{2} = (1 + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) .

第2の等式よりこれは $4 (x^{2} + y^{2})$ に等しいので $b^{2} = 3$ 。よって

A = (1 - 3 31) または A = (13 - 3 1) .

(2)

$u \neq = 0$ とし、 $u$ と $A u$ のなす角を $θ$ とする。条件から $∣ A u ∣ = 2∣ u ∣$ , $A u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ なので

cos θ = \frac{A u \cdot u}{∣ A u ∣ ∣ u ∣} = \frac{1}{2} .

したがって $θ = \frac{π}{3}$ である。

(3)

2つの行列はそれぞれ

A = 2 R (- π /3), A = 2 R (π /3)

であり、原点中心の回転と倍率 $2$ の拡大を表す。もとの円弧の偏角は $- \frac{π}{2} ≦ t ≦ 0$ だから、移る先はいずれも原点中心、半径 $2$ の円弧である。偏角の範囲は順に

- \frac{5 π}{6} ≦ t ≦ - \frac{π}{3}, - \frac{π}{6} ≦ t ≦ \frac{π}{3} .

この2本の弧を半径 $2$ の円上に図示すればよい。}

東北大学 1983年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(2)

(3)

東北大学 1983年度
理系数学前期第2問