問題
傾きが正のある直線が，2つの放物線
にそれぞれ点，で接している．原点をとするとき，の弧，の弧，および線分で囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
共通接線の傾きを と置く。それぞれの放物線で、接点の 座標を用いて接線の傾きと切片を表し、同じ直線である条件から を決める。面積は、線分 を含む接線から各放物線までの縦の差を、 から 、 から に分けて積分する。
解答
共通接線の傾きを とする。
まず を考える。接点の 座標を とすると、接線の傾きは である。また接線の切片は である。
次に を考える。接点の 座標を とすると、接線の傾きは であり、切片は である。
同じ直線であるためには切片も等しい。傾きの式から なので は となる。これを解くと であり、 より である。
したがって共通接線は である。接点は となる。
求める領域は、 では接線と に挟まれ、 では接線と に挟まれる。よって面積は
である。
第1の積分は であり、第2の積分は である。したがって面積は である。