東北大学 1983年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

対角線 $AC$ の長さは $(1+2t)-1=2t$ である。ひし形の対角線は互いに垂直に交わり、辺の長さが $1$ なので、もう一方の対角線の半分の長さを $u$ とすると $t^2+u^2=1$ である。よって $u=\sqrt{1-t^2}$ であり、もう一方の対角線の長さは $2\sqrt{1-t^2}$ である。

したがってひし形の面積は $\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot 2\sqrt{1-t^2}=2t\sqrt{1-t^2}$ である。また重心は対角線の交点であり、その $y$ 座標は $\frac{1+(1+2t)}{2}=1+t$ である。

このひし形は $x$ 軸の上側にあるので、回転体積は $2\pi \cdot (\text{重心の高さ})\cdot (\text{面積})$ で求められる。したがって $V(t)=4\pi t(1+t)\sqrt{1-t^2}$ である。

(2)

$F(t)=t(1+t)\sqrt{1-t^2}$ を最大にすればよい。$0<t<1$ で微分すると $F^{\prime }(t)=\frac{1+2t-2t^2-3t^3}{\sqrt{1-t^2}}$ である。分子は $1+2t-2t^2-3t^3=-(t+1)(3t^2-t-1)$ と因数分解できる。 $0<t<1$ では $t+1>0$ なので、$F^{\prime }(t)=0$ となるのは $3t^2-t-1=0$ を満たす正の解 $t=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$ である。もう一方の解は負なので範囲外である。

また $t\to 0+,t\to 1-$ では $F(t)\to 0$ であり、上の点で増加から減少へ変わる。したがってここで最大となる。

よって $C=(0,1+2t)$ より $C=\left(0,\frac{4+\sqrt{13}}{3}\right)$ である。