東北大学 1982年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

袋の中に $1, 2, 3, 4$ の番号をつけた球がそれぞれ1個ずつ合計4個入っている．球を1個取り出し，番号を見てから袋に戻す．偶数の番号の球を取り出さない限りはこの操作を $n$ 回行うが，偶数の番号の球を取り出したときはそれでやめることにする．取り出した球の番号の最大値の確率分布を求めよ．

出典：東北大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

取り出しは偶数が出た時点で終了し、偶数が出なければ最大 $n$ 回まで続く。最大値 $M$ が $1, 2, 4$ になる場合は直接数えやすいので先に求め、 $M = 3$ は全体から引く。別解として、 $M = 3$ も「4が出ず、少なくとも一度3が出る」場合として直接分類できる。

解答

取り出した球の番号の最大値を $M$ とする。各回で $1, 2, 3, 4$ が出る確率はいずれも $\frac{1}{4}$ であり、偶数 $2, 4$ が出た時点で操作は終了する。

$M = 1$ の場合

最大値が1になるには、操作が最後まで続き、しかも毎回1が出る必要がある。したがって $P (M = 1) = (\frac{1}{4})^{n} = 4^{- n} .$ $M = 2$ の場合

最大値が2になるには、ある回で初めて2が出て終了し、それ以前はすべて1でなければならない。初めて2が出る回を $j$ とすると $1 ≦ j ≦ n$ であり、その確率は $(\frac{1}{4})^{j - 1} \frac{1}{4} = (\frac{1}{4})^{j} .$ よって

P (M = 2) = j = 1 \sum n (\frac{1}{4})^{j} = \frac{\frac{1}{4} ( 1 - 4 ^{- n} )}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1 - 4 ^{- n}}{3} .

$M = 4$ の場合

最大値が4になるには、ある回で4が出て終了すればよい。それ以前は偶数が出ていてはいけないので、すべて奇数、すなわち1または3である。4が出る回を $j$ とすると、その確率は $(\frac{1}{2})^{j - 1} \frac{1}{4} .$ したがって

P (M = 4) = j = 1 \sum n (\frac{1}{2})^{j - 1} \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 2 ^{- n}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (1 - 2^{- n}) .

$M = 3$ の場合

最大値は $1, 2, 3, 4$ のいずれかであるから $P (M = 3) = 1 - P (M = 1) - P (M = 2) - P (M = 4) .$ よって $P (M = 3) = 1 - 4^{- n} - \frac{1 - 4 ^{- n}}{3} - \frac{1}{2} (1 - 2^{- n}) .$ 整理して $P (M = 3) = \frac{1}{6} + 2^{- n - 1} - \frac{2}{3} 4^{- n} .$ 以上より確率分布は

M P (M) 1 4^{- n} 2 \frac{1 - 4 ^{- n}}{3} 3 \frac{1}{6} + 2^{- n - 1} - \frac{2}{3} 4^{- n} 4 \frac{1}{2} (1 - 2^{- n})

である。

別解の視点

$M = 3$ を直接数えるなら、次の二つを足せばよい。まず、 $n$ 回すべて奇数で、その中に少なくとも一度3が出る場合である。この確率は $(\frac{1}{2})^{n} - (\frac{1}{4})^{n} .$ 次に、ある回で2が出て終了し、それ以前は奇数だけで、かつ少なくとも一度3が出ている場合である。終了回を $j$ とすると確率は

j = 1 \sum n {(\frac{1}{2})^{j - 1} - (\frac{1}{4})^{j - 1}} \frac{1}{4} .

これを計算して先ほどの $\frac{1}{6} + 2^{- n - 1} - \frac{2}{3} 4^{- n}$ と一致することを確認できる。

東北大学 1982年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

M=1 の場合

M=4 の場合

M=3 の場合

別解の視点

東北大学 1982年度
理系数学前期第6問

$M = 1$ の場合

$M = 4$ の場合

$M = 3$ の場合