問題
曲線 について，次の問に答えよ．
(1) この曲線上の2点， の間の弧の長さをとで表せ．
(2) のとき，点 の座標を求めよ．
(3) (2)のについて，弧と3直線，，で囲まれる部分を軸のまわりに回転させて得られる回転体の体積を求めよ．
出典：東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
(1)はまず を求め、弧長の被積分関数 が に等しいことを利用する。弧長 と の関係は、和と差の積から と整理できる。(2)は から を決める。(3)は回転体の体積を で求め、(2)で得た指数の値を代入する。
解答
(1)
であるから したがって ここで であるから 右辺は に等しいので、 から までの弧の長さは よって
一方 である。したがって
ゆえに である。 なので としてこの正の平方根を取る。
(2)
より、(1)の関係から したがって である。 とおくと、 より である。また だから 両辺に を掛けると よって なので したがって 求める点は である。
(3)
求める回転体の体積は である。まず だから 積分すると
(2)より したがって であり、
また よって
整理して 別解の視点
(1)で を出しておくと、(2)では がすぐ決まる。先に を直接求めようとすると指数方程式が早く出てくるが、弧長と高さの関係を使う方が計算の順序が自然である。