東北大学 1982年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

行列 $A = (2 a b b a)$ $(a ≦ \frac{1}{2}, b ≧ 0)$ について，次の問に答えよ．

(1) $A (x y) = (x y)$ と $x^{2} + y^{2} = 1$ とを同時に満たす点 $P (x, y)$ $(x > 0)$ がある． $b$ と点 $P$ の座標を $a$ で表せ．

(2) (1)のとき，さらに $A (X Y) = t (X Y)$ $(t \neq = 1)$ と $X^{2} + Y^{2} = 1$ とを同時に満たす点 $Q (X, Y)$ $(Y > 0)$ が存在するような $t$ を $a$ で表し，点 $Q$ の座標を $a$ で表せ．

(3) 原点を $O$ とするとき，3角形 $O P Q$ の面積を求めよ．

出典：東北大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1)は $A$ によって $(x, y)$ がそのまま保たれる条件を成分方程式にし、零でない解が存在する条件から $b$ を求める。次に比 $y / x$ を出して単位円条件で $P$ を決める。(2)も同様に、倍率 $t$ に対する成分方程式が零でない解をもつ条件を立て、 $t \neq = 1$ の方を選ぶ。最後に $Y > 0$ と単位円条件で $Q$ を決める。

解答

(1)

A (x y) = (x y)

は $(2 a - 1) x + b y = 0, b x + (a - 1) y = 0$ と同値である。

点 $P (x, y)$ は $x^{2} + y^{2} = 1$ を満たすので、 $(x, y) \neq = (0, 0)$ である。したがって上の連立一次方程式が零でない解をもつ必要があり、 $(2 a - 1) (a - 1) - b^{2} = 0$ である。よって $b^{2} = (2 a - 1) (a - 1) = (1 - 2 a) (1 - a) .$ $a ≦ \frac{1}{2}$ 、 $b ≧ 0$ より $b = (1 - 2 a) (1 - a) .$ 次に $b x + (a - 1) y = 0$ から $y = \frac{b}{1 - a} x$ である。ここで $1 - a > 0$ である。したがって $y = \frac{1 - 2 a}{1 - a} x .$ これを $x^{2} + y^{2} = 1$ に代入すると $x^{2} (1 + \frac{1 - 2 a}{1 - a}) = 1.$ すなわち $x^{2} \frac{2 - 3 a}{1 - a} = 1.$ $x > 0$ より $x = \frac{1 - a}{2 - 3 a} .$ したがって $y = \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a} .$ よって $P = (\frac{1 - a}{2 - 3 a}, \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a})$ である。

(2)

A (X Y) = t (X Y)

は $(2 a - t) X + bY = 0, b X + (a - t) Y = 0$ と同値である。点 $Q$ も単位円上にあるので、 $(X, Y) \neq = (0, 0)$ である。したがって $(2 a - t) (a - t) - b^{2} = 0$ でなければならない。

(1)で得た $b^{2} = (1 - 2 a) (1 - a)$ を代入すると $(2 a - t) (a - t) - (1 - 2 a) (1 - a) = 0.$ 整理して $t^{2} - 3 a t + 3 a - 1 = 0$ である。この2次方程式は $(t - 1) {t - (3 a - 1)} = 0$ と因数分解できる。条件は $t \neq = 1$ なので $t = 3 a - 1.$ このとき第一式は $(1 - a) X + bY = 0$ となる。よって $X = - \frac{b}{1 - a} Y = - \frac{1 - 2 a}{1 - a} Y .$ 単位円条件から $X^{2} + Y^{2} = 1$ であり、 $Y > 0$ だから $Y = \frac{1 - a}{2 - 3 a} .$ したがって $X = - \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a} .$ よって $Q = (- \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a}, \frac{1 - a}{2 - 3 a}) .$ (3)

(1)、(2)より $P = (\frac{1 - a}{2 - 3 a}, \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a}),$ $Q = (- \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a}, \frac{1 - a}{2 - 3 a})$ である。どちらも単位円上にある。また内積を計算すると

\frac{1 - a}{2 - 3 a} (- \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a}) + \frac{1 - 2 a}{2 - 3 a} \frac{1 - a}{2 - 3 a} = 0.

したがって $O P$ と $O Q$ は垂直で、長さはいずれも1である。よって三角形 $O P Q$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} .$ 別解の視点

(2)では、行列が対称な形であることから、二つの方向が互いに垂直になることを予想できる。ただし答案では、禁則的な用語に頼らず、上のように $t$ の方程式と成分比を直接出すと、高校範囲の計算として完結する。

東北大学 1982年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1982年度
理系数学前期第5問