東北大学 1982年度
理系数学 前期 第2問

解答

(1)

等差数列 $\{a_n\}$ は初項7、公差2であるから $a_n=7+2(n-1)=2n+5.$ 等比数列 $\{b_n\}$ は初項 $\frac{1}{3}$、公比 $\frac{1}{3}$ であるから $b_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n=3^{-n}.$ 与えられた等式の右辺を $S_n=\frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+3)$ とおく。このとき ${\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k{c}_k=S_n$ であるから、$n\geqq 2$ では $a_n{b}_n{c}_n=S_n-S_{n-1}$ となる。右辺を計算すると $S_n-S_{n-1}=\frac{1}{3}\{(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)\}$ $=\frac{1}{3}(n+1)(n+2)\{(n+3)-n\}=(n+1)(n+2).$ $n=1$ でも同じ式が成り立つ。したがって $(2n+5)3^{-n}{c}_n=(n+1)(n+2)$ であり、$c_n=\frac{3^n(n+1)(n+2)}{2n+5}.$ (2)

(1)より $\frac{1}{c_n}=\frac{2n+5}{3^n(n+1)(n+2)}.$ ここで $\frac{2n+5}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{n+1}-\frac{1}{n+2}$ である。よって $\frac{1}{c_n}=\left(\frac{3}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\frac{1}{3^n}.$ 右辺は $\frac{1}{3^{n-1}(n+1)}-\frac{1}{3^n(n+2)}$ と書ける。

したがって第 $N$ 項までの和は

これは途中の項が順に消えて ${\sum }_{n=1}^N\frac{1}{c_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3^N(N+2)}$ となる。$N\to \infty$ とすると $\frac{1}{3^N(N+2)}\to 0$ であるから ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{c_n}=\frac{1}{2}.$ 別解の視点

部分分数分解の後に級数公式を使う方法もあるが、この問題では $\left(\frac{3}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\frac{1}{3^n}$ を一つずつ分けて見ると、前の項の後半と次の項の前半が同じ形で消える。無限級数では、まず有限和でどこまで消えるかを確認してから極限を取ると安全である。