東北大学 1982年度
理系数学 前期 第3問

解答

曲線 $y=\cos kx$ と3直線 $x=-\theta ,x=0,x=\theta$ との交点は $(-\theta ,\cos k\theta ),(0,1),(\theta ,\cos k\theta )$ である。

左右の2点が $y$ 軸について対称であり、中央の点も $y$ 軸上にある。したがって、この3点を通る円の中心は $y$ 軸上にある。そこで $P=(0,Y)$ とおく。

中心から $(0,1)$ までの距離の2乗は $(1-Y{)}^2$ である。中心から $(\theta ,\cos k\theta )$ までの距離の2乗は ${\theta }^2+(\cos k\theta -Y{)}^2$ である。これらが等しいので ${\theta }^2+(\cos k\theta -Y{)}^2=(1-Y{)}^2.$ 展開して $Y$ について解くと $2Y(\cos k\theta -1)={\theta }^2+{\cos }^{2}k\theta -1.$ すなわち $Y=\frac{{\theta }^2-{\sin }^{2}k\theta }{2(\cos k\theta -1)}.$ ここで $t=k\theta$ とおく。すると $\theta =\frac{t}{k}$ であり、$\theta \to 0$ のとき $t\to 0$ である。上の式は $Y=\frac{{\sin }^{2}t-\frac{t^2}{k^2}}{2(1-\cos t)}$ と書き直せる。さらに

である。

を用いると ${\lim }_{\theta \to 0}Y=1-\frac{1}{k^2}.$ したがって $P$ は $\left(0,1-\frac{1}{k^2}\right)$ に近づく。

別解の視点

中心を $P=(0,Y)$ と置くところまでは同じである。そこから ${\theta }^2=(1-Y{)}^2-(\cos k\theta -Y{)}^2$ と差の形にすると ${\theta }^2=(1-\cos k\theta )(1+\cos k\theta -2Y)$ となる。これを $Y$ について解いても同じ極限計算に帰着する。差の平方をそのまま展開するより、因数分解を使うと式の見通しがよい。