東京科学大学 2026年度理系数学第4問解答・解説

問題

$i$ を虚数単位とする。実数 $θ$ に対して複素数 $e (θ)$ を $e (θ) = cos θ + i sin θ$ で定める。正の整数 $n$ に対し，複素数平面上の点 $e ((n - 1) π /3)$ と点 $e (nπ /3)$ を通る直線を $l_{n}$ とする。複素数 $z$ に対し，直線 $l_{n}$ に関して点 $z$ と対称な位置にある点を表す複素数を $R_{n} (z)$ とする。

(1) 複素数 $z$ と共役な複素数を $\overline{z}$ とする。このとき， $R_{n} (z) = e (θ_{1}) \overline{z} + 3 e (θ_{2})$ をみたす実数 $θ_{1}, θ_{2}$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。

(2) 実数 $a, b$ に対して， $z_{1} = a + bi$ ， $z_{n + 1} = R_{n} (z_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ で定められる複素数の列 ${z_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：東京科学大学 2026年度前期日程理系第4問

方針

(1)では，直線 $l_{n}$ の中点と方向角を求める。方向角 $ϕ = (n + 1) π /3$ の直線に関する反射は，直線上の点 $w$ を用いて $w + e (2 ϕ) \overline{z - w}$ と書ける。(2)は (1) の式を用いて $z_{n}$ を $z_{1}$ または $\overline{z_{1}}$ の一次式として追跡し，係数と定数項の6周期を整理する。

解答

(1)

直線 $l_{n}$ は，単位円上の偏角 $(n - 1) π /3$ と $nπ /3$ の2点を結ぶ弦である。その中点を $w_{n}$ とすると，弦の中心方向の偏角は $\frac{1}{2} (\frac{n - 1}{3} π + \frac{n}{3} π) = \frac{2 n - 1}{6} π$ であり，弦の中点までの距離は $cos (π /6) = 3 /2$ である。したがって $w_{n} = \frac{3}{2} e (\frac{2 n - 1}{6} π)$ である。また直線 $l_{n}$ の方向角はこれに $π /2$ を加えた $ϕ_{n} = \frac{n + 1}{3} π$ である。

方向角 $ϕ_{n}$ の原点を通る直線に関する反射は $z$ を $e (2 ϕ_{n}) \overline{z}$ に移す。したがって，点 $w_{n}$ を通る直線 $l_{n}$ に関する反射は

R_{n} (z) = w_{n} + e (2 ϕ_{n}) \overline{z - w_{n}} = e (2 ϕ_{n}) \overline{z} + w_{n} - e (2 ϕ_{n}) \overline{w_{n}}

である。ここで $2 ϕ_{n} = \frac{2 ( n + 1 )}{3} π$ であり，また $w_{n} - e (2 ϕ_{n}) \overline{w_{n}} = 3 e (\frac{2 n - 1}{6} π)$ となる。よって，例えば $θ_{1} = \frac{2 ( n + 1 )}{3} π, θ_{2} = \frac{2 n - 1}{6} π$ とすればよい。

(2)

(1)より

z_{n + 1} = e (\frac{2 ( n + 1 )}{3} π) \overline{z_{n}} + 3 e (\frac{2 n - 1}{6} π)

である。この式を順に用いると， $m = 0, 1, 2, \dots$ に対して次の形が得られる。

z_{6 m + 1} z_{6 m + 2} z_{6 m + 3} z_{6 m + 4} z_{6 m + 5} z_{6 m + 6} = a + (b - 33 m) i, = e (\frac{4 π}{3}) (a - bi) + \frac{3 ( 3 m + 1 )}{2} + \frac{( 1 - 3 m ) 3}{2} i, = e (\frac{2 π}{3}) (a + bi) + \frac{3 ( 3 m + 1 )}{2} + \frac{( 3 m + 1 ) 3}{2} i, = a - bi - \frac{3}{2} + \frac{( 6 m + 3 ) 3}{2} i, = e (\frac{4 π}{3}) (a + bi) - \frac{3 ( 3 m + 2 )}{2} + \frac{( 3 m + 2 ) 3}{2} i, = e (\frac{2 π}{3}) (a - bi) - \frac{3 ( 3 m + 2 )}{2} - \frac{( 3 m + 4 ) 3}{2} i .

これが求める一般項である。

例えば第1式から第2式への移行を確認すると， $z_{6 m + 2} = R_{6 m + 1} (z_{6 m + 1})$ であり， $R_{6 m + 1} (z) = e (4 π /3) \overline{z} + 3 e ((12 m + 1) π /6)$ である。ここに $z_{6 m + 1} = a + (b - 33 m) i$ を代入すると，表示した $z_{6 m + 2}$ が得られる。また最後の式から次の第1式への移行も， $R_{6 m + 6} = R_{6}$ を代入すると $z_{6 (m + 1) + 1} = a + (b - 33 (m + 1)) i$ となる。これらと同様の成分計算で中間の4箇所も確認できる。

以下，この式が確かに成り立つことを確認する。 $m = 0$ のとき，上の6式は $z_{1}$ から $z_{6}$ までを漸化式で直接計算したものと一致する。さらに (1) の式は $n$ を $n + 6$ に替えても同じ反射を表すので，6個進めた後は同じ6本の直線に関する反射を同じ順に繰り返す。上の6式を漸化式に代入すると， $z_{6 m + j}$ から $z_{6 m + j + 1} (j = 1, 2, \dots, 5)$ がそれぞれ次の式に移り，また $z_{6 m + 6}$ は $z_{6 (m + 1) + 1}$ に移る。よって数学的帰納法により，すべての $m ≧ 0$ で上の表示が成り立つ。

東京科学大学 2026年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第4問