東京科学大学 2026年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$x=a+b\sqrt{n}$ で $x$ は無理数であるから，$b\ne 0$ であり，また $\sqrt{n}$ も無理数である。$\sqrt{n}=(x-a)/b$ より $(x-a{)}^2=b^{2}n$ である。これを展開すると $x^2-2ax+a^2-b^{2}n=0$ であるから，求める組の一つは $p=-2a,q=a^2-b^{2}n$ である。これは $a,b,n$ がそれぞれ有理数，有理数，整数であることから有理数である。

次に一意性を示す。$x^2+px+q=0$ と $x^2+p^{\prime }x+q^{\prime }=0$ がともに成り立ち，$p,q,p^{\prime },q^{\prime }$ が有理数であるとする。差をとると $(p-p^{\prime })x+(q-q^{\prime })=0$ である。もし $p\ne p^{\prime }$ なら $x=-(q-q^{\prime })/(p-p^{\prime })$ は有理数となり，仮定に反する。したがって $p=p^{\prime }$ であり，さらに $q=q^{\prime }$ である。よって組はただ一つである。

(2)

$x=a+b\sqrt[3]{n}$ で $x$ は無理数であるから，$b\ne 0$ であり，$\sqrt[3]{n}$ も無理数である。$\sqrt[3]{n}=(x-a)/b$ より $(x-a{)}^3=b^{3}n$ である。展開して整理すると $x^3-3a{x}^2+3a^{2}x-a^3-b^{3}n=0$ となる。したがって $p=-3a,q=3a^2,r=-a^3-b^{3}n$ が求める有理数の組である。

一意性を示すため，まず $\alpha =\sqrt[3]{n}$ が有理係数の二次以下の方程式を満たさないことを確認する。$A{\alpha }^2+B\alpha +C=0$ が成り立つとし，$A,B,C$ は有理数で，すべてが $0$ ではないとする。$A=0$ なら一次式から $\alpha$ は有理数となり矛盾する。よって $A\ne 0$ としてよい。このとき ${\alpha }^2=u\alpha +v$ と有理数 $u,v$ で表せる。両辺に $\alpha$ を掛けると $n={\alpha }^3=u{\alpha }^2+v\alpha =(u^2+v)\alpha +uv$ である。もし $u^2+v\ne 0$ なら $\alpha$ は有理数となり矛盾する。したがって $u^2+v=0$ であり，このとき $n=uv=-u^3$ だから $\alpha =-u$ となって，やはり $\alpha$ が有理数となる。よってそのような二次以下の関係式は存在しない。

いま $x^3+p{x}^2+qx+r=0$ と $x^3+p^{\prime }{x}^2+q^{\prime }x+r^{\prime }=0$ がともに成り立ち，係数はすべて有理数であるとする。差をとると $(p-p^{\prime })x^2+(q-q^{\prime })x+(r-r^{\prime })=0$ である。ここで $x=a+b\alpha$ であり，$b\ne 0$ だから，この式が零多項式でなければ $\alpha$ について有理係数の二次以下の方程式が得られてしまう。これは上で示したことに反する。したがって $p-p^{\prime }=q-q^{\prime }=r-r^{\prime }=0$ である。ゆえに $(p,q,r)$ はただ一つに限る。