東京科学大学 2026年度理系数学第2問解答・解説

問題

$n$ は4以上の整数であり， $x, y, z$ はすべて正の整数であるとする。

(1) $1 ≦ r < n$ をみたす整数 $r$ に対して， $_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r} +_{n - 1} C_{r - 1}$ および $_{n + 1} C_{r + 1} = \sum_{k = r}^{n}_{k} C_{r}$ が成り立つことを示せ。

(2) 空間の点 $(x, y, z)$ で， $x + y + z < n$ をみたすものの個数を $n$ を用いて表せ。

(3) 空間の点 $(x, y, z)$ で， $x + y + z = 3 n$ かつ $x < y < z$ をみたすものの個数を $n$ を用いて表せ。

出典：東京科学大学 2026年度前期日程理系第2問

方針

(1)は組合せの意味で証明する。第1式は特定の1個を選ぶかどうかで分け，第2式は選んだ $r + 1$ 個の最大番号で分類する。(2)は正整数条件を非負整数条件に直して，余りを表す補助変数を加える。(3)は，まず正整数解全体を順序つきで数え，三つが相異なるものだけを取り出して $6$ で割る。同じ値が2個ある場合と $(n, n, n)$ を正確に除く。

解答

(1)

$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶとき，特定の1個を選ばない場合は残り $n - 1$ 個から $r$ 個を選ぶので $_{n - 1} C_{r}$ 通り，特定の1個を選ぶ場合は残り $n - 1$ 個から $r - 1$ 個を選ぶので $_{n - 1} C_{r - 1}$ 通りである。したがって $_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r} +_{n - 1} C_{r - 1}$ が成り立つ。

次に， $1, 2, \dots, n + 1$ から $r + 1$ 個を選ぶ方法を考える。選ばれた数の最大値が $k + 1$ であるとする。このとき $k$ は $r ≦ k ≦ n$ を動き，残り $r$ 個は $1, 2, \dots, k$ から選ぶので $_{k} C_{r}$ 通りである。最大値による分類は重複も漏れもないから $_{n + 1} C_{r + 1} = \sum_{k = r}^{n}_{k} C_{r}$ である。

(2)

$X = x - 1, Y = y - 1, Z = z - 1$ とおくと， $X, Y, Z$ は $0$ 以上の整数であり，条件は $X + Y + Z ≦ n - 4$ となる。さらに $W = n - 4 - (X + Y + Z)$ とおくと， $W$ も $0$ 以上の整数で， $X + Y + Z + W = n - 4$ をみたす。よって求める個数は， $n - 4$ 個の同じものを4つの場所に分ける方法の数であり， $_{n - 1} C_{3}$ である。

(3)

まず，正の整数 $(x, y, z)$ で $x + y + z = 3 n$ をみたす順序つきの組の個数は $_{3 n - 1} C_{2}$ である。このうち三つの値がすべて等しいものは $(n, n, n)$ の1通りである。

次に，ちょうど2つの値が等しいものを数える。等しい2つの値を $u$ ，残りの値を $v$ とすると， $2 u + v = 3 n$ ， $u \neq = v$ ， $u, v$ は正の整数である。値 $v$ の入る位置は3通りである。

$n$ が偶数のとき， $v > 0$ を満たす $u$ は $1, 2, \dots, 3 n /2 - 1$ であり，このうち $u = v$ となる $u = n$ を除くので， $u$ は $3 n /2 - 2$ 通りである。 $n$ が奇数のとき， $v > 0$ を満たす $u$ は $1, 2, \dots, (3 n - 1) /2$ であり，このうち $u = n$ を除くので， $u$ は $(3 n - 3) /2$ 通りである。

条件 $x < y < z$ は，三つの相異なる値の並べ方6通りのうち1通りを選ぶことに等しい。したがって求める個数は， $n$ が偶数のとき

\frac{1}{6} {_{3 n - 1} C_{2} - 1 - 3 (\frac{3 n}{2} - 2)} = \frac{3 n ^{2} - 6 n + 4}{4}

であり， $n$ が奇数のとき

\frac{1}{6} {_{3 n - 1} C_{2} - 1 - 3 (\frac{3 n - 3}{2})} = \frac{3 ( n - 1 ) ^{2}}{4}

である。

東京科学大学 2026年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京科学大学 2026年度
理系数学第2問