問題
と を正の実数とし，座標平面の3点 ，， を考える。 の中点を ， の中点を とし， の外心を とする。
(1) 2点 のそれぞれの座標を と を用いて表せ。
(2) 2点 を通る直線上の点 で， をみたすものすべてについて，それぞれの座標を と を用いて表せ。
(3) (2)の条件をみたす点 で， ∽ ， ∽ のうち少なくとも一方が成り立つようなものをすべて求めよ。
方針
座標を直接計算する。(1)で を求める。 は の垂直二等分線と との等距離条件から出す。(2)は とおき， を解く。(3)は (2) の2候補について と の比を計算し，直角三角形 との対応 ，または を調べる。
解答
(1)
は の中点であるから である。さらに は の中点なので である。
次に とおく。 は と から等距離にあるので， の垂直二等分線上にあり， である。また は と からも等距離であるから である。これを解くと であり， より である。
(2)
は を通る直線上にあるから， とおく。 は と同値である。したがって
である。この二次方程式は であり，その解は である。よって求める点は である。ただし のときはこの2点は一致する。
(3)
まず とする。このとき であり，また
である。したがって である。 は を直角とする直角三角形であり， も を直角とする直角三角形で， であるから， ∽ が成り立つ。よって は条件をみたす。
次に とする。このとき
であり， である。したがって である。 ∽ となるには ，すなわち が必要十分である。このとき である。また ∽ となるには が必要であるが， なので のもとでは成り立たない。
以上より，条件をみたす点は常に のみである。