東京科学大学 2025年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$f(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}$ であるから $f^{\prime }(t)=-\frac{1}{t^2}+\frac{3}{t^4}=\frac{3-t^2}{t^4}$ である。したがって $f^{\prime }(t)>0$ は $|t|<\sqrt{3}$ のとき，$f^{\prime }(t)<0$ は $|t|>\sqrt{3}$ のときである。

よって増減は，$(-\infty ,-\sqrt{3})$ で減少，$(-\sqrt{3},0)$ で増加，$(0,\sqrt{3})$ で増加，$(\sqrt{3},\infty )$ で減少である。また $f(-\sqrt{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9},f(\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}$ であり，$t=-\sqrt{3}$ で極小，$t=\sqrt{3}$ で極大をとる。

さらに $t=0$ は垂直漸近線で，$t\to 0-$ のとき $f(t)\to \infty$，$t\to 0+$ のとき $f(t)\to -\infty$ である。また $t\to \pm \infty$ のとき $f(t)\to 0$，零点は $t=\pm 1$ である。これらをもとに概形をかけばよい。

(2)

$xyz\ne 0$ であるから，第3式を $x^3{y}^3$ で割ると $\frac{y^2-1}{y^3}=\frac{x^2-1}{x^3}$ すなわち $f(y)=f(x)$ となる。同様に第4式から $f(z)=f(y)$ である。したがって $f(x)=f(y)=f(z),x<y<z$ を満たす3つの相異なる実数が存在する条件を調べればよい。

(1)のグラフより，水平線 $Y=k$ がグラフと3点で交わるのは $-\frac{2\sqrt{3}}{9}<k<0$ または $0<k<\frac{2\sqrt{3}}{9}$ のときに限られる。

まず $-\frac{2\sqrt{3}}{9}<k<0$ の場合を考える。このとき交点は $(-\infty ,-\sqrt{3})$，$(-\sqrt{3},-1)$，$(0,1)$ にそれぞれ1個ずつある。したがって最小の交点である $x$ は $x<-\sqrt{3}$ を満たす。逆に $x<-\sqrt{3}$ ならば，この区間で $f$ は $0$ に近い負の値から $-2\sqrt{3}/9$ まで単調に下がるので，$-2\sqrt{3}/9<f(x)<0$ である。この水平線は残り2点でもグラフと交わるから，条件を満たす $y,z$ が取れる。

次に $0<k<\frac{2\sqrt{3}}{9}$ の場合を考える。このとき交点は $(-1,0)$，$(1,\sqrt{3})$，$(\sqrt{3},\infty )$ にそれぞれ1個ずつある。したがって最小の交点である $x$ は $(-1,0)$ にあり，さらに $0<f(x)<\frac{2\sqrt{3}}{9}$ を満たす。$(-1,0)$ では $f$ は単調増加であり，$f(-1)=0$，$f\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}$ であるから，この場合は $-1<x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。逆に $-1<x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ならば $0<f(x)<2\sqrt{3}/9$ となり，正の側でさらに2つの交点を取れる。

以上より，求める範囲は $x<-\sqrt{3}$ または $-1<x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。