問題
空間の点 を通り を方向ベクトルとする直線を とし，点 を通り を方向ベクトルとする直線を とする。
(1) を 上の点とし， を 上の点とする。また直線 は直線 と直線 に垂直であるとする。このとき と の座標，および線分 の長さを求めよ。
(2) 上に2点
があり， 上に2点
があるとする。ただし， は実数とする。四面体 の体積を とする。 を求めよ。
(3) が を動くとき， の最大値と最小値を求めよ。
出典：東京科学大学 2025年度 前期 理系 第2問
方針
(1)は ， とおき， と2本の方向ベクトルの内積が0である条件から を求める。(2)は と がそれぞれ2直線の方向ベクトルの定数倍であることを使い，2方向が作る平行四辺形の面積と，(1)で求めた共通垂線の長さから四面体の体積を出す。(3)は に帰着し， の範囲で最大最小を調べる。
解答
(1)
， とおく。このとき である。直線 の方向ベクトルをそれぞれ ， とすると，垂直条件より
である。これを解くと となる。したがって である。また
である。
(2)
， である。2つの方向ベクトル ， のなす角を とすると，，， であるから， である。
よって と が作る平行四辺形の面積は である。また (1) で求めた は，直線 と に共通に垂直な方向の距離であり，この平行四辺形を底面とする平行六面体の高さになる。したがってその平行六面体の体積は である。
四面体 はこの平行六面体の の体積をもつので， である。よって である。
(3)
である。 とおくと， であり， だから この二次式は で単調増加する。 の範囲で も も実現するので， したがって
である。