東京科学大学 2025年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$q=1-p$ とおく。1点で終わるには，表が1回，最後が裏裏で，それ以前に裏裏が出ていない必要がある。列は $\text{表裏裏},\text{裏表裏裏}$ の2通りであるから $Q_1=p{q}^2+p{q}^3=p{q}^2(1+q)=p(1-p{)}^2(2-p)$ である。

2点で終わる場合も同様に，2個の表の前後のすき間のうち最後のすき間には終了の直前の裏が入り，残り2個のすき間には裏を入れるか入れないかを選べる。よって $Q_2=p^2{q}^2(1+q{)}^2=p^2(1-p{)}^2(2-p{)}^2$ である。

(2)

得点が $n$ 点で終わる列は，表を $n$ 回含み，最後が裏裏で，最後の裏を除く部分には裏が連続しない列である。最後の裏を除いた部分について考えると，$n$ 個の表の前，間，後ろにある $n+1$ 個のすき間のうち，最後のすき間には必ず裏が1個入る。残り $n$ 個のすき間には，裏を入れるか入れないかを自由に選べる。

残り $n$ 個のすき間のうち $j$ 個に裏を入れると，確率は $p^n{q}^{j+2}$ であり，選び方は ${}_n{\mathrm{C}}_j$ 通りである。したがって $Q_n={\sum }_{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j{p}^n{q}^{j+2}=p^n{q}^2(1+q{)}^n.$ $q=1-p$ より $Q_n=(1-p{)}^2\{p(2-p){\}}^n$ である。この式は $n=0$ のときも，最初の2回が裏で終わる確率 $q^2$ を与える。

(3)

整数 $N\geqq 0$ に対して ${\sum }_{n=0}^N{x}^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}$ である。両辺を $x$ で微分して整理すると ${\sum }_{n=0}^N(n+1)x^n=\frac{1-(N+2)x^{N+1}+(N+1)x^{N+2}}{(1-x{)}^2}$ を得る。$0<x<1$ では $x^{N+1}\to 0$ かつ $N{x}^N\to 0$ であるから，$N\to \infty$ とすると ${\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x{)}^2}$ である。

(4)

$r=p(2-p)$ とおくと，$0<r<1$ であり，(2)より $Q_n=(1-p{)}^2{r}^n$ である。(3)から ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{r}^n=\frac{r}{(1-r{)}^2}$ である。ここで $1-r=1-p(2-p)=(1-p{)}^2$ だから

である。