東京科学大学 2025年度理系数学第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

{a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)

により定め，数列 ${b_{n}}$ を $tan b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ により定める。ただし， $0 < b_{n} < \frac{π}{2}$ であるものとする。

(1) $n ≧ 2$ に対して， $a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2}$ を求めよ。

(2) $m ≧ 1$ $(m$ は整数 $)$ に対して， $a_{2 m} tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2})$ を求めよ。

(3) 無限級数 $m = 0 \sum \infty b_{2 m + 1}$ を求めよ。

出典：東京科学大学 2025年度前期理系第4問

方針

(1)はカッシーニ型の恒等式を帰納法で示す。(2)は加法定理で $tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2})$ を書き，(1)から分母を整理して $tan b_{2 m}$ に一致させる。(3)は $0 < b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2} < π /2$ を確認したうえで，(2)から $b_{2 m} = b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}$ を得て， $b_{2 m + 1} = b_{2 m} - b_{2 m + 2}$ の望ましい形で望遠和にする。

解答

(1)

$c_{n} = a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2} (n ≧ 2)$ とおく。 $n = 2$ のとき $c_{2} = a_{3} a_{1} - a_{2}^{2} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ である。また $c_{n + 1} = a_{n + 2} a_{n} - a_{n + 1}^{2} = (a_{n + 1} + a_{n}) a_{n} - a_{n + 1}^{2}$ であり， $c_{n + 1} = a_{n} a_{n + 1} + a_{n}^{2} - a_{n + 1}^{2} = - {a_{n + 1} (a_{n - 1}) - a_{n}^{2}} = - c_{n}$ である。ただし $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1}$ を用いた。したがって $a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2} = (- 1)^{n}$ である。

(2)

加法定理より

tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = \frac{\frac{1}{a _{2 m + 1}} + \frac{1}{a _{2 m + 2}}}{1 - \frac{1}{a _{2 m + 1} a _{2 m + 2}}} = \frac{a _{2 m + 1} + a _{2 m + 2}}{a _{2 m + 1} a _{2 m + 2} - 1} .

分子は $a_{2 m + 3}$ である。一方，(1)を用いると $a_{2 m + 1} a_{2 m - 1} - a_{2 m}^{2} = 1$ であり，これと漸化式から $a_{2 m + 1} a_{2 m + 2} - 1 = a_{2 m} a_{2 m + 3}$ が従う。実際，両辺の差は $a_{2 m + 1} a_{2 m + 2} - 1 - a_{2 m} a_{2 m + 3} = a_{2 m + 1} a_{2 m - 1} - a_{2 m}^{2} - 1 = 0$ である。よって $tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = \frac{a _{2 m + 3}}{a _{2 m} a _{2 m + 3}} = \frac{1}{a _{2 m}}$ となり， $a_{2 m} tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = 1$ である。

(3)

(2)より $tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = tan b_{2 m}$ である。ここで $a_{n} ≧ 1$ だから $0 < b_{n} ≦ π /4$ であり，特に $0 < b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2} < π /2$ である。したがって $b_{2 m} = b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2} (m ≧ 1)$ が成り立つ。ゆえに $b_{2 m + 1} = b_{2 m} - b_{2 m + 2} (m ≧ 1)$ である。 $a_{n}$ は限りなく大きくなるので， $tan b_{n} = 1/ a_{n}$ より $b_{n} \to 0$ である。したがって $\sum_{m = 0}^{N} b_{2 m + 1} = b_{1} + \sum_{m = 1}^{N} (b_{2 m} - b_{2 m + 2}) = b_{1} + b_{2} - b_{2 N + 2}$ である。 $b_{1} = b_{2} = π /4$ であり， $N \to \infty$ とすると $b_{2 N + 2} \to 0$ だから $\sum_{m = 0}^{\infty} b_{2 m + 1} = \frac{π}{2}$ である。

東京科学大学 2025年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京科学大学 2025年度
理系数学第4問