問題
整数の組 に対して2次式 を考える。方程式 の複素数の範囲のすべての解 に対して となる正の整数 が存在するような組 をすべて求めよ。
出典：東京工業大学 2024年度 前期日程 理系 第5問
方針
条件は，各解がいずれもある正整数乗で になる，すなわち絶対値 の複素数であることを意味する。解を として解と係数の関係を用いると， から に絞れる。 では なので， とおけば和は となり，整数 は から に限られる。 では和が純虚数になることから に絞り，最後に候補が実際に条件を満たすことを確認する。
解答
方程式 の2つの解を，重解の場合も含めて とする。条件より， となる正の整数 が存在するので である。同様に である。解と係数の関係より であるから， である。 は整数なので または である。
まず の場合を考える。このとき である。 だから， は の共役複素数である。したがって は実数で，その値は である。また であるから，整数 は のいずれかである。
次に の場合を考える。このとき である。 だから は の共役複素数であり， は純虚数である。一方で は実数である。よって でなければならず， である。
以上より候補は である。実際，それぞれの多項式は
である。これらの解は順に ，6乗すると になる解，4乗すると になる解，3乗すると になる解，，および である。したがってすべて条件を満たす。
ゆえに求める整数の組は である。