東京工業大学 2024年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$S_a$ の中心を $(r,v)$ とする。$S_a$ は $y$ 軸の正の部分に接するので，半径は $r$ であり，$r>0,v>0$ である。接点を $A\left(a,\frac{1}{2}{a}^2\right)$ とする。

放物線 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ の $A$ における接線の傾きは $a$ であるから，接点 $A$ への半径は方向 $(1,a)$ と垂直である。よって $(a-r)+a\left(\frac{1}{2}{a}^2-v\right)=0$ である。ここで $d=\frac{1}{2}{a}^2-v$ とおくと，$r=a+ad$ である。また $A$ が円上にあるので $(a-r{)}^2+{\left(\frac{1}{2}{a}^2-v\right)}^2=r^2$ である。したがって $(a^2+1)d^2=a^2(1+d{)}^2$，すなわち $d^2-2a^{2}d-a^2=0$ となる。ゆえに $d=a^2\pm a\sqrt{a^2+1}$ である。 $d=a^2+a\sqrt{a^2+1}$ とすると，$v=\frac{1}{2}{a}^2-d=-\frac{1}{2}{a}^2-a\sqrt{a^2+1}<0$ となり，$y$ 軸の正の部分に接しない。よって求める円では $d=a^2-a\sqrt{a^2+1}$ である。したがって中心 $(X(a),Y(a))$ は $X(a)=a+a^3-a^2\sqrt{a^2+1},Y(a)=a\sqrt{a^2+1}-\frac{1}{2}{a}^2$ と表される。よって $a=1$ のとき $P=(2-\sqrt{2},\sqrt{2}-\frac{1}{2})$ である。

(2)

上で得た媒介変数表示を用いる。$s=\sqrt{a^2+1}$ とおくと $X^{\prime }(a)=1+3a^2-2as-\frac{a^3}{s},Y^{\prime }(a)=s+\frac{a^2}{s}-a$ である。$a=1$ では $X^{\prime }(1)=4-\frac{5}{2}\sqrt{2},Y^{\prime }(1)=\frac{3}{2}\sqrt{2}-1$ であり，$X^{\prime }(1)\ne 0$ である。したがって点 $P$ における接線の傾きは $\frac{Y^{\prime }(1)}{X^{\prime }(1)}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}-1}{4-\frac{5}{2}\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$ である。