xy 平面上に，点 A(a,0)，B(0,b)，C(−a,0)(0<a<b) をとる。点 A,B を通る直線を l とし，点 C を通り線分 BC に垂直な直線を k とする。さらに，点 A を通り y 軸に平行な直線と直線 k との交点を C1 とし，点 C1 を通り x 軸に平行な直線と直線 l との交点を A1 とする。以下，n=1,2,3,… に対して，点 An を通り y 軸に平行な直線と直線 k との交点を Cn+1，点 Cn+1 を通り x 軸に平行な直線と直線 l との交点を An+1 とする。
(1) 点 An,Cn の座標を求めよ。
(2) △CBAn の面積 Sn を求めよ。
(3) n→∞limBCBAn を求めよ。
出典：東京工業大学 2024年度 前期日程 理系 第3問
方針
直線 l,k の方程式をまず求める。An=(xn,yn) と置くと，垂直に k へ下ろして水平に l へ戻る操作から xn+1 の一次漸化式が得られる。初期値は A0=A と見て整理し，r=a2/b2 によって等比型に解く。面積は行列式ではなく，C,B,An の座標から三角形の面積公式で計算し，長さ比は An が直線 l 上にあることから BAn/BC=xn/a に帰着する。
解答
(1)
直線 l は y=b−abx である。直線 BC の傾きは b/a であるから，これに垂直で点 C(−a,0) を通る直線 k は y=−ba(x+a) である。 An=(xn,yn) とおく。便宜上 A0=A，すなわち x0=a とおく。An から y 軸に平行な直線を引いて k と交わる点の y 座標は −ba(xn+a) である。この点から水平に直線 l と交わる点が An+1 なので b−abxn+1=−ba(xn+a) である。よって xn+1=a+b2a2(xn+a) を得る。ここで r=b2a2 とおくと，0<r<1 であり，xn+1=a+rxn+ar である。この漸化式の定数解は 1−ra(1+r) で，x0=a だから xn=1−ra(1+r−2rn+1)(n=0,1,2,…) である。
したがって An の y 座標は，An が l 上にあることから yn=b−abxn=−1−r2br(1−rn) である。また Cn は An−1 から垂直に k と交わった点であるから，x 座標は xn−1 で，y 座標は An と等しい。よって An=(1−ra(1+r−2rn+1),−1−r2br(1−rn)),Cn=(1−ra(1+r−2rn),−1−r2br(1−rn)) である。ただし r=b2a2 である。
