東京工業大学 2024年度
理系数学 第2問

解答

(1)

$p^{\prime }(t)=2f(t)f^{\prime }(t)+2g(t)g^{\prime }(t)=2f(t)\{-f(t)g(t)\}+2g(t)\{f(t){\}}^2=0$ である。したがって $p^{\prime }(t)=0$ である。

(2)

(1) より $p(t)$ は定数であり，$p(0)=1^2+0^2=1$ だから $\{f(t){\}}^2+\{g(t){\}}^2=1$ がすべての $t$ で成り立つ。$|g(t)|<1$ なので $q(t)$ は定義され，

である。よって $q^{\prime }(t)$ は定数関数である。

(3)

$q(0)=0$ であり，(2) より $q^{\prime }(t)=2$ だから $q(t)=2t$ である。したがって $\log \frac{1+g(t)}{1-g(t)}=2t$ である。指数をとると $\frac{1+g(t)}{1-g(t)}=e^{2t}$ であり，$|g(t)|<1$ のもとで整理して $g(t)=\frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}$ を得る。ゆえに ${\lim }_{t\to \infty }g(t)=1$ である。

(4)

$T>0$ では $g^{\prime }(t)=\{f(t){\}}^2>0$ であるから，$g(t)$ は単調増加する。また $f(T)=g(T)$ と $f(T{)}^2+g(T{)}^2=1$，さらに $f(T)>0$ より $f(T)=g(T)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

曲線の長さを $L$ とすると

である。ここで $g^{\prime }(t)=f(t{)}^2$，かつ $f(t)>0$ だから，$f(t)=\sqrt{1-g(t{)}^2}$ である。よって $u=g(t)$ とおくと$u=\sin \theta (0\leqq \theta \leqq \pi /4)$ とおくと，$du=\cos \theta d\theta$ であり，$\sqrt{1-u^2}=\cos \theta$ である。したがって $L={\int }_0^{\pi /4}d\theta =\frac{\pi }{4}$ である。である。