東京工業大学 2024年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とし， $C_{1}, \dots, C_{n}$ を $n$ 枚の硬貨とする。各 $k = 1, \dots, n$ に対し，硬貨 $C_{k}$ を投げて表が出る確率を $p_{k}$ ，裏が出る確率を $1 - p_{k}$ とする。この $n$ 枚の硬貨を同時に投げ，表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功，というゲームを考える。

(1) $p_{k} = \frac{1}{3}$ $(k = 1, \dots, n)$ のとき，このゲームで成功する確率 $X_{n}$ を求めよ。

(2) $p_{k} = \frac{1}{2 ( k + 1 )}$ $(k = 1, \dots, n)$ のとき，このゲームで成功する確率 $Y_{n}$ を求めよ。

(3) $n = 3 m$ （ $m$ は正の整数）で， $k = 1, \dots, 3 m$ に対して

p_{k} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{3 m} \frac{2}{3 m} \frac{1}{m} (k = 1, \dots, m), (k = m + 1, \dots, 2 m), (k = 2 m + 1, \dots, 3 m)

とする。このゲームで成功する確率を $Z_{3 m}$ とするとき， $m \to \infty lim Z_{3 m}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2024年度前期日程理系第4問

方針

最初の $k$ 枚で表の枚数が偶数になる確率を $E_{k}$ ，奇数になる確率を $O_{k}$ と置き，差 $D_{k} = E_{k} - O_{k}$ の漸化式を作る。 $D_{k} = (1 - 2 p_{k}) D_{k - 1}$ ， $E_{k} + O_{k} = 1$ から $O_{n} = (1 - D_{n}) /2$ となる。この一般式を各小問に代入し，(2) は約分，(3) は $(1 + c / m)^{m}$ の極限で処理する。

解答

(1)

最初の $k$ 枚を投げたとき，表の枚数が偶数である確率を $E_{k}$ ，奇数である確率を $O_{k}$ とする。また $D_{k} = E_{k} - O_{k}$ とおく。 $k$ 枚目を加えると，偶奇が変わるのは表が出たときであるから $E_{k} = (1 - p_{k}) E_{k - 1} + p_{k} O_{k - 1}, O_{k} = p_{k} E_{k - 1} + (1 - p_{k}) O_{k - 1}$ である。したがって $D_{k} = (1 - 2 p_{k}) D_{k - 1}$ である。 $D_{0} = 1$ だから $D_{n} = (1 - 2 p_{1}) (1 - 2 p_{2}) \dots (1 - 2 p_{n})$ である。また $E_{n} + O_{n} = 1$ より，成功確率は $O_{n} = \frac{1 - D _{n}}{2}$ である。

(1) では $p_{k} = \frac{1}{3}$ なので， $1 - 2 p_{k} = \frac{1}{3}$ である。よって $X_{n} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{2}$ である。

(2)

$p_{k} = \frac{1}{2 ( k + 1 )}$ だから $1 - 2 p_{k} = 1 - \frac{1}{k + 1} = \frac{k}{k + 1}$ である。したがって $D_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ となる。ゆえに $Y_{n} = \frac{1 - \frac{1}{n + 1}}{2} = \frac{n}{2 ( n + 1 )}$ である。

(3)

一般式より

D_{3 m} = (1 - \frac{2}{3 m})^{m} (1 - \frac{4}{3 m})^{m} (1 - \frac{2}{m})^{m}

である。よって $Z_{3 m} = \frac{1 - D _{3 m}}{2}$ である。ここで $m \to \infty$ とすると，

(1 - \frac{2}{3 m})^{m} \to e^{- 2/3}, (1 - \frac{4}{3 m})^{m} \to e^{- 4/3}, (1 - \frac{2}{m})^{m} \to e^{- 2}

であるから $D_{3 m} \to e^{- 2/3} e^{- 4/3} e^{- 2} = e^{- 4}$ である。したがって $lim_{m \to \infty} Z_{3 m} = \frac{1 - e ^{- 4}}{2}$ である。

東京工業大学 2024年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2024年度
理系数学第4問