東京科学大学 2023年度
理系数学 第5問

解答

(1)

点 $P(x,y,z)$ をとる。直線 AB の方向ベクトルは $(0,1,1)$ であるから，$P$ から直線 AB への距離の2乗は $(x-1{)}^2+y^2+z^2-\frac{(y+z{)}^2}{2}=(x-1{)}^2+\frac{(y-z{)}^2}{2}$ である。また直線 BC の方向ベクトルは $(-1,0,-1)$ としてよいので，$P$ から直線 BC への距離の2乗は $(y-1{)}^2+\frac{(x-z{)}^2}{2}$ である。したがって等距離条件は $2(x-1{)}^2+(y-z{)}^2=2(y-1{)}^2+(x-z{)}^2$ であり，整理すると $(x-y)(x+y+2z-4)=0$ となる。よって求める図形は，2平面 $x=y,x+y+2z=4$ の和集合である。

(2)

球面の中心を $O(x,y,z)$ とする。4直線への距離の2乗をそれぞれ $d_1,d_2,d_3,d_4$ とすると，(1)で求めたものを含めて $d_1=(x-1{)}^2+\frac{(y-z{)}^2}{2},d_2=(y-1{)}^2+\frac{(x-z{)}^2}{2},$ $d_3=(x+1{)}^2+\frac{(y+z{)}^2}{2},d_4=y^2+z^2$ である。共通に接する球面の中心は $d_1=d_2=d_3=d_4$ を満たす。

まず $d_1=d_2$ より $(x-y)(x+y+2z-4)=0$ である。また $d_2=d_3$ より $(x+y)(x-y+2z+4)=0$ である。さらに $d_3=d_4$ より $(y-z{)}^2=2(x+1{)}^2$ である。

したがって，次の4通りを調べればよい。

(i) $x=y$，$x+y=0$ のとき，$x=y=0$ であり，$z^2=2$ となる。よって中心は $(0,0,\sqrt{2})$，$(0,0,-\sqrt{2})$ で，半径はどちらも $\sqrt{2}$ である。

(ii) $x=y$，$x-y+2z+4=0$ のとき，$z=-2$ である。さらに $(x+2{)}^2=2(x+1{)}^2$ より $x^2=2$ だから，中心は $(\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$，$(-\sqrt{2},-\sqrt{2},-2)$ で，半径はどちらも $\sqrt{6}$ である。

(iii) $x+y+2z=4$，$x+y=0$ のとき，$z=2$，$y=-x$ である。さらに $(-x-2{)}^2=2(x+1{)}^2$ より $x^2=2$ だから，中心は $(\sqrt{2},-\sqrt{2},2)$，$(-\sqrt{2},\sqrt{2},2)$ で，半径はどちらも $\sqrt{6}$ である。

(iv) $x+y+2z=4$，$x-y+2z+4=0$ のとき，$y=4$，$x=-2z$ である。さらに $(4-z{)}^2=2(1-2z{)}^2$ より $z^2=2$ だから，中心は $(-2\sqrt{2},4,\sqrt{2})$，$(2\sqrt{2},4,-\sqrt{2})$ で，半径はどちらも $3\sqrt{2}$ である。

以上より，求める中心と半径の組は次の8組である。