東京科学大学 2023年度理系数学第3問解答・解説

問題

実数が書かれた3枚のカード [ 0 ]，[ 1 ]，[ $3$ ] から，無作為に2枚のカードを順に選び，出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数 $n$ に対して，この操作を $n$ 回繰り返して得られる $n$ 個の複素数の積を $z_{n}$ で表す。

(1) $∣ z_{n} ∣ < 5$ となる確率 $P_{n}$ を求めよ。

(2) $z_{n}^{2}$ が実数となる確率 $Q_{n}$ を求めよ。

出典：東京科学大学 2023年度前期理系第3問

方針

1回の操作で出る複素数を6通り列挙し，絶対値と偏角を分類する。(1)は絶対値が $1, 3, 2$ の3種類にそれぞれ確率 $1/3$ で分かれるので， $(3)^{b} 2^{c} < 5$ を満たす個数 $(b, c)$ を数える。(2)は偏角を $π /6$ 単位で見て，総和が3の倍数になる確率を状態0，1，2の漸化式で求める。

解答

1回の操作で得られる複素数は $i, 3 i, 1, 1 + 3 i, 3, 3 + i$ の6通りで，いずれも確率 $1/6$ である。これらの絶対値は， $1$ が2通り， $3$ が2通り， $2$ が2通りである。

(1)

$n$ 回のうち，絶対値 $3$ が出る回数を $b$ ，絶対値 $2$ が出る回数を $c$ とすると， $∣ z_{n} ∣ = (3)^{b} 2^{c}$ である。条件 $∣ z_{n} ∣ < 5$ は $3^{b} 4^{c} < 25$ と同値である。これを満たす $(b, c)$ は $(0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (0, 2)$ に限られる。

各回で絶対値が $1, 3, 2$ になる確率はいずれも $1/3$ であるから，条件を満たす確率は

P_{n} = (1 + n +_{n} C_{2} + n + n (n - 1) +_{n} C_{2}) (\frac{1}{3})^{n}

である。よって $P_{n} = \frac{2 n ^{2} + 1}{3 ^{n}}$ である。

(2)

上の6通りの偏角を $π /6$ を単位として表すと，順に $3, 3, 0, 2, 0, 1$ である。 $z_{n}^{2}$ が実数となるのは， $z_{n}$ の偏角が $π /2$ の整数倍，すなわち偏角の単位数の和が3の倍数となるときである。

偏角の単位数を3で割った余りは，0となる確率が $4/6 = 2/3$ ，1となる確率と2となる確率がそれぞれ $1/6$ である。 $n$ 回後に和の余りが0である確率を $q_{n}$ とする。余り1と余り2の確率は対称性により等しく，それぞれ $(1 - q_{n}) /2$ である。したがって

q_{n + 1} = \frac{2}{3} q_{n} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - q _{n}}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - q _{n}}{2} = \frac{1}{2} q_{n} + \frac{1}{6}

である。初めは余り0なので $q_{0} = 1$ である。よって $q_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} (q_{n} - \frac{1}{3})$ から， $q_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n}$ である。したがって $Q_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot 2 ^{n}}$ である。

東京科学大学 2023年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京科学大学 2023年度
理系数学第3問