東京科学大学 2023年度理系数学第1問解答・解説

問題

実数 $\int_{0}^{2023} \frac{2}{x + e ^{x}} d x$ の整数部分を求めよ。

出典：東京科学大学 2023年度前期理系第1問

方針

積分値を直接求める必要はなく，整数部分を決めるために $1 < I < 2$ を示す。上からは $x + e^{x} > e^{x}$ を用いる。下からは $0 ≦ x ≦ 1$ で $e^{x} < 1 + x + x^{2}$ を微分で確認し，分母を $(1 + x)^{2}$ で上からおさえる。

解答

$I = \int_{0}^{2023} \frac{2}{x + e ^{x}} d x$ とおく。

まず $x ≧ 0$ で $x + e^{x} > e^{x}$ であるから， $I < \int_{0}^{2023} 2 e^{- x} d x < \int_{0}^{\infty} 2 e^{- x} d x = 2$ である。

次に下から評価する。 $g (x) = 1 + x + x^{2} - e^{x}$ とおく。 $0 ≦ x ≦ 1$ で $g^{'} (x) = 1 + 2 x - e^{x}$ ， $g^{''} (x) = 2 - e^{x}$ である。よって $g^{'}$ は途中まで増加し，その後減少する。さらに $g^{'} (0) = 0$ ， $g^{'} (1) = 3 - e > 0$ だから， $0 < x ≦ 1$ で $g^{'} (x) > 0$ である。したがって $0 < x ≦ 1$ で $g (x) > g (0) = 0$ ，すなわち $e^{x} < 1 + x + x^{2}$ が成り立つ。

ゆえに $0 < x ≦ 1$ で $x + e^{x} < 1 + 2 x + x^{2} = (1 + x)^{2}$ であるから， $I > \int_{0}^{1} \frac{2}{( 1 + x ) ^{2}} d x = 1$ となる。

以上より $1 < I < 2$ であるから，求める整数部分は $1$ である。

東京科学大学 2023年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京科学大学 2023年度
理系数学第1問