問題
方程式 を満たす整数の組 をすべて求めよ。
出典：東京科学大学 2023年度 前期 理系 第2問
方針
と を使う。右辺が正で平方因子が正なので ，すなわち である。最小値 から を得て， の候補を有限個に絞る。その後， が になるかを確認する。
解答
である。右辺は正であり， だから，解では かつ である。整数 について となるのは のときである。よって であり， となる。したがって である。 なら だから， は のいずれかである。
各候補について調べると，
である。したがって の候補は，順に である。
一方， で は単調に増加する。 なら ， なら である。また なので は整数解をもたない。さらに なので も整数解をもたない。
よって求める整数の組は である。