問題
空間において， 軸を軸とする半径2の円柱から， かつ で表される角柱の内部を取り除いたものを A とする。また，A を 軸のまわりに 回転してから 軸のまわりに 回転したものを B とする。A と B の共通部分の体積を求めよ。
出典：東京科学大学 2023年度 前期 理系 第4問
方針
まず A と B を不等式で表す。B は半径2の 軸円柱から，， で表される角柱の内部を除いたものになる。共通部分は，2本の直交円柱の共通部分から，A 側の除外部分と B 側の除外部分を引き，共通して引いた部分を足し戻す。各体積は または で断面積分する。
解答
A は で表される。回転後の点を とし，回転前の座標を とすると，逆変換により である。したがって B は で表される。
まず2つの円柱 ， の共通部分の体積を とする。高さ を固定すると， と はともに長さ の範囲を動くから， である。
A で取り除かれる部分がこの共通円柱内に占める体積を とする。これは ，， で表されるので， である。最後の等式では，半径2の円で に対応する扇形の中心角が ずつであることを用いた。
次に B で取り除かれる部分がこの共通円柱内に占める体積を とする。 とおくと，， であり，面積は保たれる。B の除外角柱は ， で表され，このとき だから は自動的に満たされる。よって である。 と見ると， に対して長さは なので， である。ここで
であるから， である。
最後に，A と B の両方で取り除かれる部分の体積を とする。これは と，，， で決まる。 平面の正方形 ， から， となる2つの直角二等辺三角形を除くので，その面積は である。 方向の長さは2だから， である。
求める体積は包除原理より である。