東京工業大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ は $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ を満たす実数とし， $f (x) = \frac{4}{3} sin (\frac{π}{4} + a x) cos (\frac{π}{4} - a x)$ とする。

(1) 等式 $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ を満たす $a$ がただ1つ存在することを示せ。

(2) $0 ≦ b < c ≦ 1$ を満たす実数 $b, c$ について， $f (b) (c - b) ≦ \int_{b}^{c} f (x) d x ≦ f (c) (c - b)$ が成り立つことを示せ。

(3) $n$ 個の数 $1, 2, \dots, n$ を出目とするルーレットを $k$ 回まわす。各 $i = 1, 2, \dots, n$ について $i$ が出た回数を $S_{n, k, i}$ とし， $lim_{k \to \infty} \frac{S _{n, k, i}}{k} = \int_{(i - 1) / n}^{i / n} f (x) d x$ が成り立つとする。このとき (1) の等式が成り立つことを示せ。

(4) (3) の試行において出た数の平均値を $A_{n, k}$ とし， $A_{n} = lim_{k \to \infty} A_{n, k}$ とする。(3) の極限関係が成り立つとき， $lim_{n \to \infty} \frac{A _{n}}{n}$ を $a$ を用いて表せ。

出典：東京工業大学 2022年度前期日程理系第5問

方針

まず積和公式で $f (x) = \frac{2}{3} (1 + sin 2 a x)$ と単純化する。(1)は $1 - cos 2 a = a$ の解の一意性に直し，微分で単調の変化を調べる。(2)は $f^{'} (x) ≧ 0$ から積分の上下評価を出す。(3)は全出現回数の和が $k$ であることを固定した $n$ について極限に移す。(4)は $A_{n} / n$ を右端リーマン和に直し， $\int_{0}^{1} x f (x) d x$ を計算する。

解答

(1)

積和公式より $f (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1 + s i n 2 a x}{2} = \frac{2}{3} (1 + sin 2 a x)$ である。したがって $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{2}{3} (1 + \frac{1 - c o s 2 a}{2 a})$ であり， $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ は $1 - cos 2 a = a$ と同値である。 $g (a) = 1 - cos 2 a - a$ とおく。 $g^{'} (a) = 2 sin 2 a - 1$ ， $g^{''} (a) = 4 cos 2 a$ である。 $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ では $g^{''} (a) > 0$ であるから， $g^{'} (a)$ は単調増加し， $g^{'} (a) = 0$ となるのは $a = \frac{π}{12}$ だけである。よって $g$ は $0 < a < \frac{π}{12}$ で減少し， $\frac{π}{12} < a ≦ \frac{π}{4}$ で増加する。

また $g (0) = 0$ と見れば， $0 < a < \frac{π}{12}$ では $g (a) < 0$ であり，特に $g (\frac{π}{12}) < 0$ である。一方， $g (\frac{π}{4}) = 1 - \frac{π}{4} > 0$ である。したがって増加区間 $\frac{π}{12} < a ≦ \frac{π}{4}$ に解がただ1つあり， $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ 全体でも $g (a) = 0$ を満たす $a$ はただ1つである。

(2)

$f^{'} (x) = \frac{4 a}{3} cos 2 a x$ である。 $0 < a ≦ \frac{π}{4}$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ より $0 ≦ 2 a x ≦ \frac{π}{2}$ だから $f^{'} (x) ≧ 0$ である。したがって $f$ は $[0, 1]$ で単調増加する。よって $b ≦ x ≦ c$ では $f (b) ≦ f (x) ≦ f (c)$ であり，これを $b$ から $c$ まで積分して $f (b) (c - b) ≦ \int_{b}^{c} f (x) d x ≦ f (c) (c - b)$ を得る。

(3)

固定した $n$ について， $S_{n, k, 1} + S_{n, k, 2} + \dots + S_{n, k, n} = k$ である。両辺を $k$ で割り， $k \to \infty$ とすると，有限個の和なので $1 = \sum_{i = 1}^{n} \int_{(i - 1) / n}^{i / n} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x$ である。したがって (1) の等式が成り立つ。

(4)

平均値の定義より $A_{n, k} = \frac{1}{k} \sum_{i = 1}^{n} i S_{n, k, i}$ であるから， $k \to \infty$ とすると $A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i \int_{(i - 1) / n}^{i / n} f (x) d x$ である。したがって $\frac{A _{n}}{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n} \int_{(i - 1) / n}^{i / n} f (x) d x$ であり，これは $\int_{0}^{1} x f (x) d x$ の右端を用いた和に近づく。実際，(2)より $f$ は連続で有界なので，区間幅を $1/ n$ とするリーマン和として $lim_{n \to \infty} \frac{A _{n}}{n} = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ である。

よって $\int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} x d x + \frac{2}{3} \int_{0}^{1} x sin 2 a x d x$ である。部分積分により $\int_{0}^{1} x sin 2 a x d x = - \frac{c o s 2 a}{2 a} + \frac{s i n 2 a}{4 a ^{2}}$ だから，求める極限は $\frac{1}{3} - \frac{c o s 2 a}{3 a} + \frac{s i n 2 a}{6 a ^{2}}$ である。

東京工業大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京工業大学 2022年度
理系数学第5問