東京工業大学 2022年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$A=(\sin t,0)$，$B=(0,\cos t)$ とおく。$AB=1$ であり，直角三角形 $APB$ において $\angle A=\alpha$，$\angle P=\frac{\pi }{2}$ だから $AP=\cos \alpha$ である。 $A$ から $B$ への単位ベクトルは $(-\sin t,\cos t)$ であり，点 $P$ が第一象限内にある向きを選ぶと，

である。したがって $P=(\sin \alpha \cos (t-\alpha ),\cos \alpha \cos (t-\alpha ))$ となる。ゆえに $P=(x,y)$ とすれば $\frac{x}{\sin \alpha }=\frac{y}{\cos \alpha }$ であるから，点 $P$ は直線 $y=x\cot \alpha$ 上を動く。

(2)

(1)より $P=\cos (t-\alpha )(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ である。$(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ は長さ $1$ のベクトルなので，点 $P$ の道のりは $u(t)=\cos (t-\alpha )$ の変化量の総和に等しい。 $0\leqq t\leqq \frac{\pi }{2}$ において，$u(t)$ は $t=\alpha$ まで増加し，その後減少する。また $u(0)=\cos \alpha$，$u(\alpha )=1$，$u\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \alpha$ である。したがって道のりは $(1-\cos \alpha )+(1-\sin \alpha )=2-\sin \alpha -\cos \alpha$ である。

(3)

(1)の表示で $u=\cos (t-\alpha )$ とおくと，$x=u\sin \alpha$，$y=u\cos \alpha$ であり，$u>0$ である。領域 $D$ の第1の不等式は $x^2-x+y^2=u^2-u\sin \alpha <0$ すなわち $u<\sin \alpha$ と同値である。第2の不等式は同様に $u<\cos \alpha$ と同値である。よって $P$ が $D$ に入るには $u<\min (\sin \alpha ,\cos \alpha )$ が必要である。

しかし $u=\cos (t-\alpha )$ で，$-\alpha \leqq t-\alpha \leqq \frac{\pi }{2}-\alpha$ だから，この区間での $u$ の最小値は端点での値 $\min (\cos \alpha ,\sin \alpha )$ である。したがって常に $u\geqq \min (\sin \alpha ,\cos \alpha )$ であり，2つの不等式を同時に満たすことはない。ゆえに点 $P$ は領域 $D$ には入らない。