東京工業大学 2022年度
理系数学 第2問

解答

(1)

$a+b+c,bc+ca+ab,abc$ が共通の素因数 $p$ をもつと仮定する。$p$ は $abc$ を割るので，$a,b,c$ の少なくとも1つを割る。対称性により $p$ が $a$ を割るとしてよい。

このとき $p$ は $a+b+c$ を割るから，$b+c$ を割る。また $p$ は $bc+ca+ab$ を割り，かつ $a$ を割るので，$bc$ を割る。したがって $p$ は $b,c$ の少なくとも一方を割る。もし $p$ が $b$ を割れば，$b+c$ も割るので $c$ を割る。もし $p$ が $c$ を割っても同様に $b$ を割る。よって $p$ は $a,b,c$ すべてを割る。これは $a,b,c$ の最大公約数が $1$ であることに反する。したがって共通素因数は存在せず，最大公約数は $1$ である。

(2)

$s=a+b+c$，$q=bc+ca+ab$，$r=abc$ とおく。また $d$ を $s,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3$ の最大公約数とする。 $a^2+b^2+c^2=s^2-2q$ であり，$d$ は $s$ と $a^2+b^2+c^2$ を割るから，$d$ は $2q$ を割る。また $a^3+b^3+c^3=s^3-3sq+3r$ であり，$d$ は $s$ と $a^3+b^3+c^3$ を割るから，$d$ は $3r$ を割る。

(1)より $s,q,r$ の最大公約数は $1$ である。したがって，$d$ の素因数 $p$ が $2,3$ 以外なら，$p$ は $s,q,r$ をすべて割ることになり矛盾する。よって $d$ の素因数は $2$ または $3$ に限られる。

さらに $4$ が $d$ を割ると仮定する。$d\mid s$，$d\mid 2q$，$d\mid 3r$ だから，$2$ は $s,q,r$ をすべて割る。これは (1) に反する。よって $d$ は $4$ で割り切れない。同様に $9$ が $d$ を割ると仮定すると，$3$ は $s,q,r$ をすべて割るので矛盾する。よって $d$ は $9$ で割り切れない。

したがって $d$ は $1,2,3,6$ のいずれかである。実際，$(a,b,c)=(1,1,3)$ では $d=1$，$(1,1,2)$ では $d=2$，$(1,1,1)$ では $d=3$，$(1,1,4)$ では $d=6$ となる。ゆえに求める正の整数は $1,2,3,6$ である。