問題
は正の実数とする。複素数 が かつ を満たしながら動くとき，複素数平面上の点 が描く図形を とする。
(1) が円となるための の条件を求めよ。また，そのとき の中心が表す複素数と の半径を，それぞれ を用いて表せ。
(2) が (1) の条件を満たしながら動くとき，虚軸に平行で円 の直径となる線分が通過する領域を複素数平面上に図示せよ。
出典：東京工業大学 2022年度 前期日程 理系 第4問
方針
一次分数変換を逆に解いて とし， を に直す。これはアポロニウスの円で，係数が等しい のときだけ直線になる。(2)は中心の実座標 と半径 を で表し， を消去して縦の直径が通る点 の条件を求める。
解答
(1)
を について解くと である。したがって は すなわち と同値である。 とおくと， である。 のときは2点 と からの距離が等しい点の集合で，これは直線である。よって が円となる条件は かつ である。 のとき，上の式を平方完成すると となる。したがって中心が表す複素数は ，半径は である。
(2)
円 の中心を ，半径を とすると，(1)より である。虚軸に平行な直径は，実部が で を満たす点全体である。
まず のとき， である。 から であり，これを に代入すると を得る。したがってこの場合の通過領域は ， である。
次に のとき， であり，同じ計算により である。したがってこの場合の通過領域は ， である。
よって求める領域は を満たす点 全体である。図示では，直線 の右側と直線 の左側に現れる2つの双曲線状の境界の内側を塗る。ただし と は含まれない。