東京工業大学 2021年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の円 $C : x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$ $(a > 0)$ を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 円 $C$ が $y ≧ x^{2}$ で表される領域に含まれるための $a$ の範囲を求めよ。

(2) 円 $C$ が $y ≧ x^{2} - x^{4}$ で表される領域に含まれるための $a$ の範囲を求めよ。

(3) $a$ が $(2)$ の範囲にあるとする。 $x y$ 平面において連立不等式

∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}, 0 ≦ y ≦ \frac{1}{4}, y ≧ x^{2} - x^{4}, x^{2} + (y - a)^{2} ≧ a^{2}

で表される領域 $D$ を， $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

出典：東京工業大学 2021年度前期日程理系第5問

方針

(1)(2)はいずれも円の下半分 $y = a - a^{2} - x^{2}$ が曲線以上である条件に直し， $t = x^{2}$ とおいて評価する。(2)では $t = 0$ 近くの条件が最も厳しいことを示す。(3)は高さ $y$ で切った断面を考える。 $u = x^{2}$ とすると $y = x^{2} - x^{4}$ は $0 ≦ u ≦ 1/2$ で単調に増え，外半径の二乗は $\frac{1 - 1 - 4 y}{2}$ である。円の内部を除く条件から内半径の二乗は $2 a y - y^{2}$ となり， $2 a$ と $1/4$ の大小で場合分けして積分する。

解答

(1)

円 $C$ の下半分は $y = a - a^{2} - x^{2}$ $(∣ x ∣ ≦ a)$ で表される。円全体が $y ≧ x^{2}$ の領域に含まれるには，すべての $∣ x ∣ ≦ a$ について $a - a^{2} - x^{2} ≧ x^{2}$ が成り立つことが必要十分である。右辺へ移すと $a^{2} - x^{2} ≦ a - x^{2}$ であり，このためには $x^{2} ≦ a$ が必要である。両辺を二乗して整理すると， $x^{2} (1 - 2 a + x^{2}) ≧ 0$ となる。これが $∣ x ∣ ≦ a$ のすべてで成り立つには， $x = 0$ の近くを考えて $1 - 2 a ≧ 0$ が必要である。逆に $0 < a ≦ \frac{1}{2}$ ならば $∣ x ∣ ≦ a$ で $x^{2} ≦ a^{2} ≦ a$ かつ $1 - 2 a + x^{2} ≧ 0$ なので条件を満たす。よって $0 < a ≦ \frac{1}{2}$ である。

(2)

同様に，すべての $∣ x ∣ ≦ a$ について $a - a^{2} - x^{2} ≧ x^{2} - x^{4}$ が成り立てばよい。 $t = x^{2}$ とおくと $0 ≦ t ≦ a^{2}$ であり，条件は $a^{2} - t ≦ a - t + t^{2}$ である。ここで $a - t + t^{2} = (a - t) + t^{2} ≧ a - a^{2} + t^{2} > 0$ なので，両辺を二乗してよい。二乗して整理すると， $t = 0$ では等号で， $t > 0$ では $2 a (1 - t) ≦ 1 + t (1 - t)^{2}$ となる。 $t ≧ 1$ では左辺が $0$ 以下なので成り立つ。 $0 < t < 1$ では $a ≦ \frac{1 + t ( 1 - t ) ^{2}}{2 ( 1 - t )}$ である。右辺から $\frac{1}{2}$ を引くと $\frac{1 + t ( 1 - t ) ^{2}}{2 ( 1 - t )} - \frac{1}{2} = \frac{t { 1 + ( 1 - t ) ^{2} }}{2 ( 1 - t )} > 0$ である。したがって必要十分条件は $0 < a ≦ \frac{1}{2}$ である。

(3)

$u = x^{2}$ とおく。 $0 ≦ u ≦ \frac{1}{2}$ で $u - u^{2}$ は増加するので， $0 ≦ y ≦ \frac{1}{4}$ において $y ≧ x^{2} - x^{4}$ から得られる外半径 $R (y)$ は $R (y)^{2} = \frac{1 - 1 - 4 y}{2}$ である。また， $x^{2} + (y - a)^{2} < a^{2}$ は円の内部を表すので，これを除く内半径 $r (y)$ は， $0 ≦ y ≦ min (2 a, 1/4)$ で $r (y)^{2} = 2 a y - y^{2}$ ，それ以外では $r (y) = 0$ である。(2)の条件により円は $y ≧ x^{2} - x^{4}$ の領域に含まれるので，この内半径は外半径を超えない。

まず

\int_{0}^{1/4} R (y)^{2} d y = \int_{0}^{1/4} \frac{1 - 1 - 4 y}{2} d y = \frac{1}{24}

である。したがって求める体積 $V$ は

V = π {\frac{1}{24} - \int_{0}^{m i n (2 a, 1/4)} (2 a y - y^{2}) d y}

である。 $0 < a ≦ \frac{1}{8}$ のとき，積分の上端は $2 a$ であるから

V = π (\frac{1}{24} - \int_{0}^{2 a} (2 a y - y^{2}) d y) = π (\frac{1}{24} - \frac{4 a ^{3}}{3})

である。 $\frac{1}{8} ≦ a ≦ \frac{1}{2}$ のとき，積分の上端は $\frac{1}{4}$ であるから

V = π (\frac{1}{24} - \int_{0}^{1/4} (2 a y - y^{2}) d y) = \frac{( 3 - 4 a ) π}{64}

である。以上より，求める体積は

V = ⎩ ⎨ ⎧ π (\frac{1}{24} - \frac{4 a ^{3}}{3}) \frac{( 3 - 4 a ) π}{64} (0 < a ≦ \frac{1}{8}), (\frac{1}{8} ≦ a ≦ \frac{1}{2})

である。

東京工業大学 2021年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2021年度
理系数学第5問