問題
正の整数に関する条件
(＊) 10進法で表したときに，どの位にも数字9が現れない
を考える。以下の問いに答えよ。
(1) を正の整数とするとき， 以上かつ 未満であって条件 を満たす正の整数の個数を とする。このとき， を の式で表せ。
(2) 正の整数 に対して，
とおく。このとき，すべての正の整数 に対して次の不等式が成り立つことを示せ。
出典：東京工業大学 2021年度 前期日程 理系 第1問
方針
(1)は 桁の整数として，最高位と残りの桁を分けて数える。(2)は 桁から 桁までに分け，各桁数の整数 について と評価する。等比数列の有限和を用いて，最後に厳密な不等号を確認する。
解答
(1)
以上かつ 未満の正の整数は 桁の整数である。条件 を満たすには，最高位は の 通り，残りの 個の位はそれぞれ の 通りである。したがって である。
(2)
とする。 以上 未満で条件 を満たす整数は 個であり，その各整数 について である。よって，この範囲の整数から生じる の和は高々 である。したがって
となる。ゆえに，すべての正の整数 に対して求める不等式が成り立つ。