東京工業大学 2021年度
理系数学 第3問

解答

(1)

階乗表示を用いると，$n{}_{2n}{\mathrm{C}}_n=n\cdot \frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{(2n)!}{(n-1)!n!}$ であり，また

である。よって $n{}_{2n}{\mathrm{C}}_n=(n+1){}_{2n}{\mathrm{C}}_{n-1}$ が成り立つ。

この等式の右辺は $n+1$ の倍数であるから，$n{}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ は $n+1$ の倍数である。$n$ と $n+1$ は互いに素なので，${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ は $n+1$ の倍数である。

(2)

定義より $a_4=\frac{{}_8{\mathrm{C}}_4}{5}=14$ であり，$14>6$ である。また

である。$n\geqq 4$ で $a_n>n+2$ が成り立つと仮定すると，$a_{n+1}=a_n\frac{2(2n+1)}{n+2}>(n+2)\frac{2(2n+1)}{n+2}=4n+2>n+3$ である。したがって，数学的帰納法により $n\geqq 4$ ならば $a_n>n+2$ である。

(3)

まず $a_1=1,a_2=2,a_3=5,a_4=14$ であるから，この範囲では $n=2,3$ のときだけ $a_n$ は素数である。

以下，$n\geqq 5$ とする。(2)で用いた関係から $a_n=a_{n-1}\frac{2(2n-1)}{n+1}$ である。$d$ を $2(2n-1)$ と $n+1$ の最大公約数とする。$2(2n-1)-4(n+1)=-6$ だから，$d$ は $6$ の約数である。上の分数を約分すると，$a_n$ は整数であるから，$\frac{n+1}{d}$ は $a_{n-1}$ の約数である。よって $a_n=\frac{2(2n-1)}{d}\cdot \frac{a_{n-1}}{(n+1)/d}$ と，2つの整数の積に表せる。ここで $n\geqq 5$ なので，(2)より $a_{n-1}>n+1$ である。したがって $\frac{a_{n-1}}{(n+1)/d}>1$ であり，また $\frac{2(2n-1)}{d}\geqq \frac{2(2n-1)}{6}>1$ である。ゆえに $a_n$ は素数ではない。以上より，求める正の整数は $n=2,3$ である。