問題
を，座標空間内の原点 を中心とする半径1の球面とする。 上を動く点 に対して とおく。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき， によらない定数 によって と書けることを示し，定数 を求めよ。
(2) 点 が球面 上を動くときの， の最大値 を求めよ。
(3) 点 の座標が ，点 の座標が であるとき， となる 上の点 の組をすべて求めよ。
出典：東京工業大学 2021年度 前期日程 理系 第4問
方針
(1)は と距離の二乗公式を使って内積表示に直す。(2)は とおき，固定した に対して は と同じ向きのとき最大になることを使う。さらに で二次関数を最大化する。(3)は最大条件 かつ が と同じ向きであることを使い， を求める。2つの単位ベクトルの和の長さが であるための条件から を得る。
解答
(1)
球面 上の点なので である。距離の二乗を内積で表すと，
であり，また などである。したがって
である。ここで とおくと， だから， である。よって である。
(2)
とおく。 は3つの単位ベクトルの和であるから である。また より であり，等号は のとき が と同じ向きである場合に成り立つ。したがって である。右辺の最大値は のとき である。実際，3つの単位ベクトルを同じ平面内で適当に選べば和の長さを にでき，その向きに を取れば等号が成り立つ。よって である。
(3)
(2)の等号成立条件より， となるには が と同じ向きで，かつ でなければならない。ここで だから， である。よって
である。この右辺の長さは である。一方， なので であり，等号が成り立つには でなければならない。したがって である。よって求める点の組は である。