東京工業大学 2021年度
理系数学 第2問

解答

(1)

$y=ax+b$ を $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ に代入すると，$\left(a^2+\frac{1}{4}\right)x^2+2abx+b^2-1=0$ を得る。この二次方程式が異なる2つの実数解をもつことが必要十分である。判別式を $D$ とすると，$D=(2ab{)}^2-4\left(a^2+\frac{1}{4}\right)(b^2-1)=4a^2+1-b^2$ である。よって条件は $b^2<4a^2+1$ である。

(2)

(1)より，直線 $y=ax+d$ が楕円 $E$ と異なる2点で交わる条件は $d^2<4a^2+1$ である。このとき，交点の $x$ 座標を小さい順に $x_1,x_2$ とすると，二次方程式の解の差より $x_2-x_1=\frac{\sqrt{4a^2+1-d^2}}{a^2+\frac{1}{4}}$ である。したがって $l$ に対する $x$ 座標の差と $m$ に対する $x$ 座標の差が等しいことは，$\sqrt{4a^2+1-b^2}=\sqrt{4a^2+1-c^2}$ と同値である。各直線の傾きはいずれも $a$ なので，この条件は $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}$ と同値である。よって $b^2=c^2$ であり，さらに $b>c$ だから $c=-b$ かつ $b>0$ である。交点が異なる2点である条件も合わせると，求める条件は $c=-b,0<b<\sqrt{4a^2+1}$ である。

(3)

正方形の中心を $(p,q)$ とし，中心から向かい合う2頂点へのベクトルを $(u,v)$，$(-u,-v)$，他の2頂点へのベクトルを $(-v,u)$，$(v,-u)$ とおける。向かい合う2頂点がともに楕円上にあることから，$\frac{(p+u{)}^2}{4}+(q+v{)}^2=\frac{(p-u{)}^2}{4}+(q-v{)}^2$ であり，整理して $\frac{pu}{2}+2qv=0$ を得る。同様に他の向かい合う2頂点から $-\frac{pv}{2}+2qu=0$ を得る。前の式に $u$，後の式に $-v$ を掛けて加えると $\frac{p}{2}(u^2+v^2)=0$ となるので $p=0$ である。また，$-v,u$ を用いた式に $p=0$ を代入して $2qu=0$，最初の式に $p=0$ を代入して $2qv=0$ である。正方形は退化しないから $(u,v)\ne (0,0)$ であり，$q=0$ である。よって中心は原点である。

したがって，正方形の隣り合う2頂点を $(x,y)$，$(-y,x)$ とおけばよい。両方が楕円上にあるので $\frac{x^2}{4}+y^2=1,\frac{y^2}{4}+x^2=1$ である。差をとると $x^2=y^2$ であり，これを代入して $\frac{5}{4}{x}^2=1$ を得る。よって $x^2=y^2=\frac{4}{5}$ である。以上より，求める4点の組は

の1組である。