東京工業大学 2020年度理系数学第5問解答・解説

問題

$k$ を正の整数とし， $a_{k} = \int_{0}^{1} x^{k - 1} sin (\frac{π x}{2}) d x$ とおく。

(1) $a_{k + 2}$ を $a_{k}$ と $k$ を用いて表せ。

(2) $k$ を限りなく大きくするとき，数列 ${k a_{k}}$ の極限値 $A$ を求めよ。

(3) (2)の極限値 $A$ に対し， $k$ を限りなく大きくするとき，数列 ${k^{m} a_{k} - k^{n} A}$ が0ではない値に収束する整数 $m, n$ $(m > n ≧ 1)$ を求めよ。またそのときの極限値 $B$ を求めよ。

(4) (2)と(3)の極限値 $A, B$ に対し， $k$ を限りなく大きくするとき，数列 ${k^{p} a_{k} - k^{q} A - k^{r} B}$ が0ではない値に収束する整数 $p, q, r$ $(p > q > r ≧ 1)$ を求めよ。またそのときの極限値を求めよ。

出典：東京工業大学 2020年度前期日程理系第5問

方針

(1)は $c = π /2$ とおいて2回の部分積分を行い， $a_{k + 2} = 4 (k + 1) (1 - k a_{k}) / π^{2}$ を得る。(2)は $0 ≦ x ≦ 1$ で $x ≦ sin (π x /2) ≦ 1$ と評価してはさみうちを使う。(3)(4)は(1)の漸化式を $1 - k a_{k} = π^{2} a_{k + 2} / {4 (k + 1)}$ と変形し，すでに得た極限を順に代入して，消えるべき主項の次数を決定する。

解答

(1)

$c = π /2$ とおく。部分積分により

a_{k + 2} = \int_{0}^{1} x^{k + 1} sin (c x) d x = \frac{k + 1}{c} \int_{0}^{1} x^{k} cos (c x) d x

である。また

\int_{0}^{1} x^{k} cos (c x) d x = \frac{1}{c} - \frac{k}{c} \int_{0}^{1} x^{k - 1} sin (c x) d x = \frac{1 - k a _{k}}{c}

である。したがって $a_{k + 2} = \frac{4 ( k + 1 )}{π ^{2}} (1 - k a_{k})$ である。

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ において， $x ≦ sin (π x /2) ≦ 1$ である。よって

\frac{1}{k + 1} = \int_{0}^{1} x^{k} d x ≦ a_{k} ≦ \int_{0}^{1} x^{k - 1} d x = \frac{1}{k}

である。したがって $\frac{k}{k + 1} ≦ k a_{k} ≦ 1$ となるから，はさみうちにより $A = 1$ である。

(3)

(1)の結果を $1 - k a_{k} = \frac{π ^{2}}{4 ( k + 1 )} a_{k + 2}$ と書き直す。(2)より $(k + 2) a_{k + 2} \to 1$ であるから，

k^{2} (1 - k a_{k}) = \frac{π ^{2}}{4} \cdot \frac{k ^{2}}{( k + 1 ) ( k + 2 )} \cdot (k + 2) a_{k + 2} \to \frac{π ^{2}}{4}

である。よって $k^{3} a_{k} - k^{2} = - k^{2} (1 - k a_{k}) \to - \frac{π ^{2}}{4}$ となる。

ここで $k^{3} a_{k} - k^{2} \to - \frac{π ^{2}}{4}$ も分かっている。 $k^{m} a_{k} - k^{n} A$ が0でない有限値に収束すると仮定する。 $k a_{k} \to 1$ であるから， $n \neq = m - 1$ なら $k^{m - 1}$ の項と $k^{n}$ の項の次数が合わず，有限値には収束しない。よって $n = m - 1$ である。このとき $k^{m} a_{k} - k^{m - 1} = k^{m - 3} (k^{3} a_{k} - k^{2})$ であり，括弧内は0でない値に収束する。したがって0でない有限値に収束するには $m = 3$ でなければならない。ゆえに $m = 3, n = 2$ であり， $B = - \frac{π ^{2}}{4}$ である。

(4)

$B = - \frac{π ^{2}}{4}$ である。 $E_{k} = k^{4} a_{k} - k^{3} - k B$ とおくと，(1)の変形から

E_{k} = - k^{3} (1 - k a_{k}) - k B = \frac{π ^{2}}{4} k - \frac{π ^{2}}{4} \cdot \frac{k ^{3}}{k + 1} a_{k + 2}

である。さらに $c_{k} = (k + 2) a_{k + 2}$ とおけば $E_{k} = \frac{π ^{2}}{4} k (1 - \frac{k ^{2}}{( k + 1 ) ( k + 2 )} c_{k})$ である。(3)を $k + 2$ に適用すると $(k + 2)^{2} (c_{k} - 1) \to B$ であるから， $k (c_{k} - 1) \to 0$ である。したがって

E_{k} \to \frac{π ^{2}}{4} k \to \infty lim k (1 - \frac{k ^{2}}{( k + 1 ) ( k + 2 )}) = \frac{π ^{2}}{4} k \to \infty lim \frac{k ( 3 k + 2 )}{( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{3 π ^{2}}{4}

である。

$k^{p} a_{k} - k^{q} A - k^{r} B$ が0でない有限値に収束すると仮定する。まず $k a_{k} \to 1$ より $q = p - 1$ が必要である。さらに $k^{3} a_{k} - k^{2} \to B$ より， $B$ の項の次数を合わせるには $r = p - 3$ が必要である。このとき $k^{p} a_{k} - k^{p - 1} - k^{p - 3} B = k^{p - 4} E_{k}$ である。 $E_{k} \to \frac{3 π ^{2}}{4}$ であるから，0でない有限値に収束するには $p = 4$ でなければならない。したがって $p = 4, q = 3, r = 1$ であり，このときの極限値は $\frac{3 π ^{2}}{4}$ である。

東京工業大学 2020年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東京工業大学 2020年度
理系数学第5問