問題
次の問いに答えよ。
(1) の値が，3を法として2に合同である正の整数 をすべて求めよ。
(2) 個の連続した正の整数 に対して，
の値がすべて素数になる の最大値と，その に対する連続した正の整数 をすべて求めよ。ここで 個の連続した整数とは， となる列のことである。
出典：東京工業大学 2020年度 前期日程 理系 第1問
方針
とおき，まず の3で割った余りと符号を調べる。(2)では， のとき が3で割り切れることを利用し，素数になり得る例外を から特定する。6個以上の連続整数には例外でない が必ず含まれるため，上から押さえ，最後に長さ5の列を確認する。
解答
(1)
とおく。 を3で割った余りで分けると， のとき ， のとき である。 となるには， かつ でなければならない。
正の整数 について となるのは のときである。この中で を満たすものは である。したがって求める正の整数は である。
(2)
のとき， は3で割り切れる。したがって が素数となるには でなければならない。 は であるから正の整数解は であり， は整数解をもたない。よって， で が素数となる正の整数は だけである。
6個の連続した正の整数には，3で割って2余る整数が2個含まれる。そのうち高々1個しか ではないから，6個すべてで が素数になることはない。よって である。
一方， に対して， であり，これらはすべて素数である。したがって最大値は である。長さ5の連続整数で条件を満たすには，その中に現れる の整数が だけでなければならない。よって列は に限られる。