東京工業大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

複素数平面上の異なる3点 $A, B, C$ を複素数 $α, β, γ$ で表す。ここで $A, B, C$ は同一直線上にないと仮定する。

(1) $△ A B C$ が正三角形となる必要十分条件は，

α^{2} + β^{2} + γ^{2} = α β + β γ + γ α

であることを示せ。

(2) $△ A B C$ が正三角形のとき， $△ A B C$ の外接円上の点 $P$ を任意にとる。このとき， $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2}$ および $A P^{4} + B P^{4} + C P^{4}$ を外接円の半径 $R$ を用いて表せ。ただし2点 $X, Y$ に対し， $X Y$ とは線分 $X Y$ の長さを表す。

出典：東京工業大学 2020年度前期日程理系第2問

方針

(1)は平行移動して $A$ を原点に移し， $u = β - α$ ， $v = γ - α$ とおく。条件は $u^{2} - uv + v^{2} = 0$ となり， $u / v$ が $cos (π /3) \pm i sin (π /3)$ であることと同値になる。(2)は外接円の中心を原点とし，頂点を中心角 $2 π /3$ ずつ離して置く。余弦定理で各距離の二乗を表し，3つの余弦の和と余弦二乗の和を計算する。

解答

(1)

$u = β - α$ ， $v = γ - α$ とおく。3点は異なり同一直線上にないので， $u \neq = 0$ ， $v \neq = 0$ であり， $u / v$ は実数ではない。与えられた等式は， $β = α + u$ ， $γ = α + v$ を代入して整理すると $u^{2} - uv + v^{2} = 0$ となる。

$△ A B C$ が正三角形であるとする。このとき $A B = A C$ で， $A C$ から $A B$ への回転角は $π /3$ または $- π /3$ である。したがって $u / v = cos (π /3) \pm i sin (π /3) = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ であり，これは $t^{2} - t + 1 = 0$ の解である。よって $u^{2} - uv + v^{2} = 0$ が成り立つ。

逆に $u^{2} - uv + v^{2} = 0$ とする。 $v \neq = 0$ で割ると $(u / v)^{2} - u / v + 1 = 0$ であるから， $u / v = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ である。したがって $∣ u ∣ = ∣ v ∣$ であり，2つのベクトルのなす角は $π /3$ である。よって $A B = A C$ かつ $∠ B A C = π /3$ となり， $△ A B C$ は正三角形である。

(2)

外接円の中心を $O$ とする。図形全体を回転しても距離は変わらないので， $A, B, C$ は中心角 $2 π /3$ ずつ離れた点としてよい。点 $P$ に対応する中心角を $θ$ とすると，余弦定理より

A P^{2} = 2 R^{2} (1 - cos θ), B P^{2} = 2 R^{2} (1 - cos (θ - \frac{2 π}{3})), C P^{2} = 2 R^{2} (1 - cos (θ - \frac{4 π}{3}))

である。3つの余弦の和は0であるから， $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} = 6 R^{2}$ である。

また， $u_{1} = θ$ ， $u_{2} = θ - \frac{2 π}{3}$ ， $u_{3} = θ - \frac{4 π}{3}$ とおくと， $cos u_{1} + cos u_{2} + cos u_{3} = 0$ であり，さらに $cos^{2} u = (1 + cos 2 u) /2$ を用いて $cos^{2} u_{1} + cos^{2} u_{2} + cos^{2} u_{3} = 3/2$ である。したがって

A P^{4} + B P^{4} + C P^{4} = 4 R^{4} {3 - 2 (cos u_{1} + cos u_{2} + cos u_{3}) + (cos^{2} u_{1} + cos^{2} u_{2} + cos^{2} u_{3})} = 18 R^{4}

である。

東京工業大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2020年度
理系数学第2問