問題
座標空間に5点 ，，，， をとる。さらに ， に対して2点 と を考える。
(1) 点 を通る平面を とする。平面 と線分 の交点 の座標，および平面 と線分 の交点 の座標を求めよ。
(2) 点 が同一円周上にあるための必要十分条件を を用いて表し，それを満たす点 の範囲を座標平面上に図示せよ。
出典：東京工業大学 2020年度 前期日程 理系 第3問
方針
平面 は切片形 で表せる。(1)は線分 ， を媒介変数で表して代入する。(2)は 上の点を で表し，誘導される距離の二乗 を使う。円の方程式の二次部分が固定されるため， 軸上の2点 と 軸上の2点 を同一円にのせる条件は定数項の一致に帰着する。
解答
(1)
点 を通る平面 はである。線分 上の点を とおく。これを平面の式に代入すると， であるから， である。よってである。同様に，線分 上の点を とおくと， であり，である。
(2)
平面 上の点は により で表せる。この平面上の2点の 座標の差を とすると，距離の二乗はである。したがって， 上の円の方程式は， について
の形に書ける。
ここで， の 座標を ， の 座標を とする。円が と を通るためには， における二次式の根が であるから，定数項は である。同様に，円が と を通るためには，定数項は である。よって4点が同一円周上にあるための必要十分条件はである。これに を代入するととなる。整理してを得る。
したがって求める条件は
である。 のもとでの範囲は，開線分 と，曲線 の和である。図示すると，正方形 の内部に，対角線の開線分 と，両端 ， を含まない減少曲線を描く。2つは で交わる。