東京工業大学 2020年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を正の奇数とする。曲線 $y = sin x$ $((n - 1) π ≦ x ≦ nπ)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $D_{n}$ とする。直線 $x + y = 0$ を $l$ とおき， $l$ の周りに $D_{n}$ を1回転させてできる回転体を $V_{n}$ とする。

(1) $(n - 1) π ≦ x ≦ nπ$ に対して，点 $(x, sin x)$ を $P$ とおく。また $P$ から $l$ に下ろした垂線と $x$ 軸の交点を $Q$ とする。線分 $P Q$ を $l$ の周りに1回転させてできる図形の面積を $x$ の式で表せ。

(2) (1)の結果を用いて，回転体 $V_{n}$ の体積を $n$ の式で表せ。

出典：東京工業大学 2020年度前期日程理系第4問

方針

直線 $l$ に垂直な方向は傾き1なので， $Q = (x - sin x, 0)$ と表せる。 $P, Q$ から $l$ までの距離を半径とする円環の面積を(1)で求める。(2)では $l$ に沿った座標が $(X - Y) / 2$ であり，線分 $P Q$ に対応する値は $(x - sin x) / 2$ であることを用いて，断面積を $d (x - sin x) / 2$ で積分する。

解答

(1)

$s = sin x$ とおく。点 $P = (x, s)$ を通り $l : x + y = 0$ に垂直な直線は傾き1であるから，その方程式は $y - s = X - x$ である。これと $x$ 軸との交点は $Q = (x - s, 0)$ である。

点 $(X, Y)$ から $l$ までの距離は $∣ X + Y ∣/ 2$ である。いま $n$ は正の奇数なので，考える区間で $s ≧ 0$ であり，また $x - s ≧ 0$ である。よって $P, Q$ は $l$ の同じ側にある。したがって線分 $P Q$ を $l$ の周りに回転してできる図形は円環であり，その面積は

π {(\frac{x + s}{2})^{2} - (\frac{x - s}{2})^{2}} = 2 π x sin x

である。

(2)

直線 $l$ に沿った座標を $u = (X - Y) / 2$ とすると，線分 $P Q$ に対応する $u$ の値は $u = (x - sin x) / 2$ である。よって $d u = \frac{1 - c o s x}{2} d x$ である。また，考える区間では $1 - cos x ≧ 0$ であるから，この断面は重複なく動く。したがってカヴァリエリの原理により

V_{n} = \frac{1}{2} \int_{(n - 1) π}^{nπ} 2 π x sin x (1 - cos x) d x

である。ここで

\int x sin x (1 - cos x) d x = - x cos x + sin x + \frac{x cos 2 x}{4} - \frac{sin 2 x}{8}

である。 $a = (n - 1) π$ ， $b = nπ$ とおくと， $n$ は奇数なので $cos a = 1$ ， $cos b = - 1$ ，かつ $sin a = sin b = sin 2 a = sin 2 b = 0$ ， $cos 2 a = cos 2 b = 1$ である。よって

\int_{a}^{b} x sin x (1 - cos x) d x = (a + b) + \frac{b - a}{4} = \frac{( 8 n - 3 ) π}{4}

となる。したがって $V_{n} = \frac{( 8 n - 3 ) 2 π ^{2}}{4}$ である。

東京工業大学 2020年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2020年度
理系数学第4問