東京工業大学 2019年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a = \frac{2 ^{8}}{3 ^{4}}$ として，数列

b_{k} = \frac{( k + 1 ) ^{k + 1}}{a ^{k} k !} (k = 1, 2, 3, \dots)

を考える。

(1) 関数 $f (x) = (x + 1) lo g (1 + \frac{1}{x})$ は $x > 0$ で減少することを示せ。

(2) 数列 ${b_{k}}$ の項の最大値 $M$ を既約分数で表し， $b_{k} = M$ となる $k$ をすべて求めよ。

出典：東京工業大学 2019年度前期理系第5問

方針

(1)は微分して $f^{'} (x) = lo g (1 + 1/ x) - 1/ x$ を得る。これは $lo g (1 + u) < u$ $(u > 0)$ から負である。(2)は隣接比 $b_{k + 1} / b_{k}$ を調べ，その対数が $f (k + 1) - lo g a$ になることを利用する。 $a = (4/3)^{4}$ より $lo g a = f (3)$ であり，(1) の単調性で増減が決まる。

解答

(1)

微分すると $f^{'} (x) = lo g (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x}$ である。ここで $u > 0$ に対して $g (u) = u - lo g (1 + u)$ とおくと， $g^{'} (u) = 1 - \frac{1}{1 + u} = \frac{u}{1 + u} > 0$ であり， $lim_{u \to 0 +} g (u) = 0$ だから $g (u) > 0$ である。したがって $lo g (1 + u) < u$ である。

$u = 1/ x > 0$ とすれば $lo g (1 + \frac{1}{x}) < \frac{1}{x}$ であるから， $f^{'} (x) < 0$ である。よって $f (x)$ は $x > 0$ で減少する。

(2)

\frac{b _{k + 1}}{b _{k}} = \frac{1}{a} (\frac{k + 2}{k + 1})^{k + 2} = \frac{1}{a} (1 + \frac{1}{k + 1})^{k + 2}

である。両辺の対数をとると

lo g \frac{b _{k + 1}}{b _{k}} = (k + 2) lo g (1 + \frac{1}{k + 1}) - lo g a = f (k + 1) - lo g a

である。ここで

a = \frac{2 ^{8}}{3 ^{4}} = (\frac{4}{3})^{4}

だから $lo g a = 4 lo g \frac{4}{3} = f (3)$ である。

(1)より $f$ は減少するので， $k = 1$ のとき $f (k + 1) = f (2) > f (3)$ ， $k = 2$ のとき $f (k + 1) = f (3)$ ， $k ≧ 3$ のとき $f (k + 1) < f (3)$ である。したがって $\frac{b _{2}}{b _{1}} > 1, \frac{b _{3}}{b _{2}} = 1, \frac{b _{k + 1}}{b _{k}} < 1 (k ≧ 3)$ となる。よって最大値は $b_{2} = b_{3}$ である。

b_{2} = \frac{3 ^{3}}{a ^{2} \cdot 2} = \frac{3 ^{3}}{2} (\frac{3 ^{4}}{2 ^{8}})^{2} = \frac{3 ^{11}}{2 ^{17}} = \frac{177147}{131072}

であり，これは既約分数である。したがって $M = \frac{177147}{131072}$ であり， $b_{k} = M$ となるのは $k = 2, 3$ である。

東京工業大学 2019年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2019年度
理系数学第5問