東京工業大学 2019年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の等式が $1 ≦ x ≦ 2$ で成り立つような関数 $f (x)$ と定数 $A, B$ を求めよ。

\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} ∣ lo g y ∣ f (x y) d y = 3 x (lo g x - 1) + A + \frac{B}{x}

ただし， $f (x)$ は $1 ≦ x ≦ 2$ に対して定義される連続関数とする。

出典：東京工業大学 2019年度前期理系第2問

方針

積分で $t = x y$ と置換し，絶対値の符号が $t = x$ で変わることを用いて，左辺に $x$ を掛けた関数 $G (x)$ を作る。 $G^{'} (x)$ ， $G^{''} (x)$ を計算すると $2 f (x) = G^{'} (x) + x G^{''} (x)$ が得られる。右辺から $f$ の形を出し，端点 $x = 1, 2$ での $G^{'}$ の値と $G (1)$ から $A, B$ を決める。

解答

$t = x y$ とおくと， $d y = d t / x$ であり， $t$ は $1$ から $2$ まで動く。そこで

G (x) = \int_{1}^{x} (lo g x - lo g t) f (t) d t + \int_{x}^{2} (lo g t - lo g x) f (t) d t

とおくと，問題の等式は $G (x) = 3 x^{2} (lo g x - 1) + A x + B$ と同値である。 $f$ は連続であるから，

G^{'} (x) = \frac{1}{x} (\int_{1}^{x} f (t) d t - \int_{x}^{2} f (t) d t)

である。さらに微分して整理すると $G^{'} (x) + x G^{''} (x) = 2 f (x)$ を得る。一方，右辺を $H (x) = 3 x^{2} (lo g x - 1) + A x + B$ とおくと

H^{'} (x) = 6 x lo g x - 3 x + A, H^{''} (x) = 6 lo g x + 3

である。したがって

2 f (x) = H^{'} (x) + x H^{''} (x) = 12 x lo g x + A

より $f (x) = 6 x lo g x + \frac{A}{2}$ である。

$C = \int_{1}^{2} f (t) d t$ とおく。上の $G^{'} (x)$ の式から $G^{'} (1) = - C$ ， $G^{'} (2) = C /2$ である。一方 $G = H$ より

G^{'} (1) = A - 3, G^{'} (2) = 12 lo g 2 - 6 + A

であるから

A - 3 = - C, 12 lo g 2 - 6 + A = \frac{C}{2}

となる。これを解いて

A = 5 - 8 lo g 2, C = 8 lo g 2 - 2

を得る。よって $f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2$ である。

最後に $B$ を求める。 $L = lo g 2$ ， $c = \frac{5}{2} - 4 L$ とおくと，

G (1) = \int_{1}^{2} lo g t (6 t lo g t + c) d t = 12 L^{2} - 12 L + \frac{9}{2} + (\frac{5}{2} - 4 L) (2 L - 1) = 4 L^{2} - 3 L + 2

である。また $H (1) = A + B - 3 = B + 2 - 8 L$ だから， $B + 2 - 8 L = 4 L^{2} - 3 L + 2$ より $B = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2$ である。以上の $f, A, B$ については，上の計算を逆にたどると $G - H$ が $G (1) - H (1) = 0$ ， $G^{'} (1) - H^{'} (1) = 0$ を満たし，かつ $(x (G - H)^{'})^{'} = 0$ を満たすので $G = H$ である。したがって求めるものは

f (x) = 6 x lo g x + \frac{5}{2} - 4 lo g 2, A = 5 - 8 lo g 2, B = 4 (lo g 2)^{2} + 5 lo g 2

である。

東京工業大学 2019年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

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理系数学第2問