東京工業大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

$i$ を虚数単位とする。実部と虚部が共に整数であるような複素数 $z$ により $\frac{z}{3 + 2 i}$ と表される複素数全体の集合を $M$ とする。

(1) 原点を中心とする半径 $r$ の円上またはその内部に含まれる $M$ の要素の個数を $N (r)$ とする。このとき，集合 ${r ∣ 10 ≦ N (r) < 25}$ を求めよ。

(2) 複素数平面の相異なる2点 $z, w$ を結ぶ線分を $L (z, w)$ で表すとき，6つの線分

L (0, 1), L (1, 1 + \frac{i}{2}), L (1 + \frac{i}{2}, \frac{1 + i}{2}), L (\frac{1 + i}{2}, \frac{1}{2} + i), L (\frac{1}{2} + i, i), L (i, 0)

で囲まれる領域の内部または境界に含まれる $M$ の要素の個数を求めよ。

出典：東京工業大学 2019年度前期理系第3問

方針

$M$ は整数格子を複素数 $3 + 2 i$ で割った格子である。(1)は絶対値の2乗に直し， $a^{2} + b^{2}$ の小さい値を数える。(2)は $(a + bi) / (3 + 2 i) = X /13 + iY /13$ と書いて，領域条件を $X, Y$ の範囲と合同条件 $Y \equiv 8 X (mod 13)$ に変換し，有限個を表で数える。

解答

(1)

$z = a + bi$ $(a, b$ は整数 $)$ と書くと， $\frac{z}{3 + 2 i}^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{13}$ である。したがって $N (r)$ は $a^{2} + b^{2} ≦ 13 r^{2}$ を満たす整数の組 $(a, b)$ の個数である。

$a^{2} + b^{2}$ の小さい値について個数を数えると

a^{2} + b^{2} その値をとる組の個数 累計 011145249441358218425

である。よって $10 ≦ N (r) < 25$ となるのは， $13 r^{2}$ が $4$ 以上 $8$ 未満のときである。したがって

{r ∣ 10 ≦ N (r) < 25} = {r ∣ \frac{2}{13} ≦ r < \frac{8}{13}}

である。

(2)

$z = a + bi$ とすると

\frac{a + bi}{3 + 2 i} = \frac{( a + bi ) ( 3 - 2 i )}{13} = \frac{3 a + 2 b}{13} + \frac{3 b - 2 a}{13} i

である。そこで $X = 3 a + 2 b, Y = 3 b - 2 a$ とおく。逆に

a = \frac{3 X - 2 Y}{13}, b = \frac{2 X + 3 Y}{13}

であるから， $a, b$ が整数である条件は $Y \equiv 8 X (mod 13)$ と同値である。

与えられた6線分で囲まれる領域は，正方形 $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1$ から右上の部分 $x > \frac{1}{2}, y > \frac{1}{2}$ を除いた領域である。したがって数えるべき整数 $X, Y$ は $0 ≦ X ≦ 13, 0 ≦ Y ≦ 13, X ≦ 6 または Y ≦ 6$ を満たし，さらに $Y \equiv 8 X (mod 13)$ を満たす。

$0 ≦ X ≦ 13$ についてこの合同条件を調べると，候補は

X Y 000131823311465169748129710211101251301313

の16個である。このうち $X ≧ 7$ かつ $Y ≧ 7$ となるものは $(8, 12), (9, 7), (11, 10), (13, 13)$ の4個であり，領域に含まれない。よって求める個数は $16 - 4 = 12$ 個である。

東京工業大学 2019年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2019年度
理系数学第3問