東京工業大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

(1) $h > 0$ とする。座標平面上の点 O $(0, 0)$ ，点 P $(h, s)$ ，点 Q $(h, t)$ に対して，三角形 OPQ の面積を $S$ とする。ただし， $s < t$ とする。三角形 OPQ の辺 OP，OQ，PQ の長さをそれぞれ $p, q, r$ とするとき，不等式

p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ 43 S

が成り立つことを示せ。また，等号が成立するときの $s, t$ の値を求めよ。

(2) 四面体 ABCD の表面積を $T$ ，辺 BC，CA，AB の長さをそれぞれ $a, b, c$ とし，辺 AD，BD，CD の長さをそれぞれ $l, m, n$ とする。このとき，不等式

a^{2} + b^{2} + c^{2} + l^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T

が成り立つことを示せ。また，等号が成立するのは四面体 ABCD がどのような四面体のときか答えよ。

出典：東京工業大学 2019年度前期理系第1問

方針

(1)は $d = t - s$ ， $u = (s + t) /2$ とおき，左辺から $43 S$ を引いて平方完成する。(2)は (1) を任意の三角形に対する不等式として読み替え，四面体の4つの面に適用して足し合わせる。等号条件は4面すべてが正三角形になることから判定する。

解答

(1)

$d = t - s$ ， $u = \frac{s + t}{2}$ とおくと， $d > 0$ であり $S = \frac{h d}{2}$ である。また

p^{2} + q^{2} + r^{2} = (h^{2} + s^{2}) + (h^{2} + t^{2}) + (t - s)^{2} = 2 h^{2} + 2 u^{2} + \frac{3 d ^{2}}{2}

である。したがって $p^{2} + q^{2} + r^{2} - 43 S = 2 u^{2} + \frac{1}{2} (2 h - 3 d)^{2} ≧ 0$ となり，求める不等式が成り立つ。等号成立は $u = 0$ かつ $2 h = 3 d$ のときであるから， $s + t = 0$ ， $t - s = \frac{2 h}{3}$ である。ゆえに

s = - \frac{h}{3}, t = \frac{h}{3}

である。

(2)

(1) の座標設定は任意の三角形に対して行える。すなわち，三角形の1辺を直線 $x = h$ 上に置き，その反対側の頂点を原点に移せばよい。よって，辺の長さが $x, y, z$ ，面積が $U$ である任意の三角形について $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≧ 43 U$ が成り立つ。

四面体 ABCD の面 ABC，BCD，CDA，DAB の面積をそれぞれ $U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}$ とする。各面に上の不等式を用いると

a^{2} + b^{2} + c^{2} a^{2} + m^{2} + n^{2} b^{2} + n^{2} + l^{2} c^{2} + l^{2} + m^{2} ≧ ≧ ≧ ≧ 43 U_{1}, 43 U_{2}, 43 U_{3}, 43 U_{4}

である。これらを加えると $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + l^{2} + m^{2} + n^{2}) ≧ 43 (U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4}) = 43 T$ となるから， $a^{2} + b^{2} + c^{2} + l^{2} + m^{2} + n^{2} ≧ 23 T$ である。

等号が成り立つには，4つの面すべてで等号が成り立つ必要がある。したがって4つの面はすべて正三角形である。面 ABC から $a = b = c$ ，面 BCD から $a = m = n$ となり，結局6辺はすべて等しい。逆に，正四面体なら各面は正三角形であるから等号が成り立つ。よって等号成立は ABCD が正四面体であるときに限る。

東京工業大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2019年度
理系数学第1問